giải toán 12

Câu 1: Để kiểm tra xem điểm nào thuộc mặt phẳng $(P):~x+y-z+1=0$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay tọa độ điểm $A(1;1;3)$ vào phương trình: \[ 1 + 1 - 3 + 1 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Phương trình đúng, vậy điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$. B. Thay tọa độ điểm $B(1;1;-3)$ vào phương trình: \[ 1 + 1 - (-3) + 1 = 0 \] \[ 1 + 1 + 3 + 1 = 6 \neq 0 \] Phương trình sai, vậy điểm $B$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. C. Thay tọa độ điểm $C(3;1;1)$ vào phương trình: \[ 3 + 1 - 1 + 1 = 0 \] \[ 4 \neq 0 \] Phương trình sai, vậy điểm $C$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. D. Thay tọa độ điểm $D(-1;-1;3)$ vào phương trình: \[ -1 + (-1) - 3 + 1 = 0 \] \[ -1 - 1 - 3 + 1 = -4 \neq 0 \] Phương trình sai, vậy điểm $D$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Vậy điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ là: Đáp án đúng là: A. $A(1;1;3)$. Câu 2: Để xác định điểm nào thuộc mặt phẳng (Oxy), ta cần kiểm tra tọa độ của các điểm. Mặt phẳng (Oxy) là mặt phẳng có phương pháp z = 0. A. Điểm A(1;1;0): - Tọa độ z của điểm A là 0, do đó điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy). B. Điểm B(1;0;-3): - Tọa độ z của điểm B là -3, do đó điểm B không thuộc mặt phẳng (Oxy). C. Điểm C(0;1;1): - Tọa độ z của điểm C là 1, do đó điểm C không thuộc mặt phẳng (Oxy). D. Điểm D(0;0;3): - Tọa độ z của điểm D là 3, do đó điểm D không thuộc mặt phẳng (Oxy). Vậy điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) là: A. $A(1;1;0)$ Đáp án đúng là: A. $A(1;1;0)$. Câu 3: Để tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(-1;5;2)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}=(0;1;1)$ và $\vec{v}=(-3;-5;1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$. - Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng $(\alpha)$ sẽ vuông góc với cả hai vectơ chỉ phương $\vec{u}$ và $\vec{v}$. - Ta tính tích có hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ để tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}$: \[ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & -5 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-5)) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-3)) + \vec{k}(0 \cdot (-5) - 1 \cdot (-3)) = \vec{i}(1 + 5) - \vec{j}(0 + 3) + \vec{k}(0 + 3) = 6\vec{i} - 3\vec{j} + 3\vec{k} = (6, -3, 3) \] Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$. - Phương trình mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và $d$ là hằng số. - Thay các thành phần của vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (6, -3, 3)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 6x - 3y + 3z + d = 0 \] - Để xác định giá trị của $d$, ta thay tọa độ của điểm $M(-1;5;2)$ vào phương trình trên: \[ 6(-1) - 3(5) + 3(2) + d = 0 \] \[ -6 - 15 + 6 + d = 0 \] \[ -15 + d = 0 \] \[ d = 15 \] Bước 3: Viết phương trình cuối cùng của mặt phẳng $(\alpha)$: \[ 6x - 3y + 3z + 15 = 0 \] Chia cả phương trình cho 3 để đơn giản hóa: \[ 2x - y + z + 5 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ 2x - y + z + 5 = 0 \] Đáp án đúng là: B. $2x - y + z + 5 = 0$. Câu 4: Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 0, 0 - 2, 1 - 1) = (3, -2, 0)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 0, 0 - 2, 0 - 1) = (1, -2, -1)$ 2. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ - Ta có: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-1) - (0)(-2)) - \mathbf{j}((3)(-1) - (0)(1)) + \mathbf{k}((3)(-2) - (-2)(1)) = \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(-6 + 2) = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \] - Vậy $\overrightarrow{n} = (2, 3, -4)$ 3. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng tổng quát: - Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, với $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến. - Thay $\overrightarrow{n} = (2, 3, -4)$ vào phương trình: \[ 2x + 3y - 4z + d = 0 \] - Để tìm $d$, thay tọa độ của điểm $A(0, 2, 1)$ vào phương trình: \[ 2(0) + 3(2) - 4(1) + d = 0 \] \[ 0 + 6 - 4 + d = 0 \] \[ 2 + d = 0 \] \[ d = -2 \] 4. Kết luận phương trình mặt phẳng (ABC): - Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \[ 2x + 3y - 4z - 2 = 0 \] Vậy đáp án đúng là: C. $2x + 3y - 4z - 2 = 0$. Câu 5: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là \( z = 0 \). Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) sẽ có dạng \( z = d \). Do mặt phẳng này đi qua điểm \( A(2; -3; -2) \), ta thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình \( z = d \): \[ -2 = d \] Vậy phương trình của mặt phẳng là \( z + 2 = 0 \). Đáp án đúng là: A. \( z + 2 = 0 \). Câu 6: Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là \( y = 0 \). Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxz) sẽ có dạng \( y = d \). Do mặt phẳng này đi qua điểm \( A(2; -3; -2) \), ta thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình \( y = d \): \[ -3 = d \] Vậy phương trình của mặt phẳng là \( y + 3 = 0 \). Đáp án đúng là: B. \( y + 3 = 0 \). Câu 7: Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là \( x = 0 \). Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) sẽ có dạng \( x = d \). Vì mặt phẳng này đi qua điểm \( A(2; -3; -2) \), ta thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình \( x = d \): \[ 2 = d \] Do đó, phương trình của mặt phẳng là \( x = 2 \). Vậy phương trình của mặt phẳng là \( x - 2 = 0 \). Đáp án đúng là: C. \( x - 2 = 0 \). Câu 8: Mặt phẳng song song với mặt phẳng $(a):~2x-y+3z-3=0$ sẽ có dạng $2x-y+3z+d=0$. Do mặt phẳng này đi qua điểm $A(2;-3;-2)$ nên thay tọa độ của điểm A vào phương trình mặt phẳng ta có: $2 \times 2 - (-3) + 3 \times (-2) + d = 0$ $4 + 3 - 6 + d = 0$ $1 + d = 0$ $d = -1$ Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là $2x-y+3z-1=0$. Đáp án đúng là: B. $2x-y+3z-1=0$.