Giải và tìm đáp án đúng

Câu 1. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể xác định các điểm cực trị của hàm số như sau: - Tại $x = -2$, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó $x = -2$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = 0$, hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó $x = 0$ là điểm cực đại. - Tại $x = 2$, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó $x = 2$ là điểm cực tiểu. Như vậy, hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính khoảng tử phân vị (\(\Delta\)) của cả hai mẫu số liệu ghép nhóm A và B. Khoảng tử phân vị được tính bằng cách lấy hiệu giữa giá trị của phân vị thứ 75% (Q3) và phân vị thứ 25% (Q1). Bước 1: Xác định phân vị Q1 và Q3 cho mẫu số liệu A Tính phân vị Q1: - Tổng số lượng dữ liệu trong mẫu A là 100. - Vị trí của Q1 là \(\frac{100 + 1}{4} = 25,25\). Do đó, Q1 nằm ở nhóm thứ 3 (vì nhóm thứ 2 có 20 dữ liệu và nhóm thứ 3 có thêm 30 dữ liệu, tổng cộng 50 dữ liệu). - Sử dụng công thức nội suy để tính Q1: \[ Q1 = 10 + \left( \frac{25,25 - 20}{30} \right) \times 10 = 10 + \frac{5,25}{3} = 11,75 \] Tính phân vị Q3: - Vị trí của Q3 là \(3 \times \frac{100 + 1}{4} = 75,75\). Do đó, Q3 nằm ở nhóm thứ 5 (vì nhóm thứ 4 có 70 dữ liệu và nhóm thứ 5 có thêm 30 dữ liệu, tổng cộng 100 dữ liệu). - Sử dụng công thức nội suy để tính Q3: \[ Q3 = 30 + \left( \frac{75,75 - 70}{30} \right) \times 10 = 30 + \frac{5,75}{3} = 31,92 \] Tính khoảng tử phân vị \(\Delta_A\): \[ \Delta_A = Q3 - Q1 = 31,92 - 11,75 = 20,17 \] Bước 2: Xác định phân vị Q1 và Q3 cho mẫu số liệu B Tính phân vị Q1: - Tổng số lượng dữ liệu trong mẫu B là 100. - Vị trí của Q1 là \(\frac{100 + 1}{4} = 25,25\). Do đó, Q1 nằm ở nhóm thứ 3 (vì nhóm thứ 2 có 20 dữ liệu và nhóm thứ 3 có thêm 30 dữ liệu, tổng cộng 50 dữ liệu). - Sử dụng công thức nội suy để tính Q1: \[ Q1 = 10 + \left( \frac{25,25 - 20}{30} \right) \times 10 = 10 + \frac{5,25}{3} = 11,75 \] Tính phân vị Q3: - Vị trí của Q3 là \(3 \times \frac{100 + 1}{4} = 75,75\). Do đó, Q3 nằm ở nhóm thứ 5 (vì nhóm thứ 4 có 70 dữ liệu và nhóm thứ 5 có thêm 30 dữ liệu, tổng cộng 100 dữ liệu). - Sử dụng công thức nội suy để tính Q3: \[ Q3 = 30 + \left( \frac{75,75 - 70}{30} \right) \times 10 = 30 + \frac{5,75}{3} = 31,92 \] Tính khoảng tử phân vị \(\Delta_B\): \[ \Delta_B = Q3 - Q1 = 31,92 - 11,75 = 20,17 \] Kết luận: \[ \Delta_A = \Delta_B \] Do đó, phát biểu đúng là: A. \(\Delta_A = \Delta_B\) Đáp án: A. \(\Delta_A = \Delta_B\) Câu 3. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \log_x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số đã cho: \[ y = \log_x \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit cơ số \( a \): \[ y = \log_a x \implies y' = \frac{1}{x \ln a} \] Trong trường hợp này, cơ số \( a = 5 \). Do đó, ta có: \[ y = \log_5 x \implies y' = \frac{1}{x \ln 5} \] Bước 3: Kết luận: Đạo hàm của hàm số \( y = \log_5 x \) là: \[ y' = \frac{1}{x \ln 5} \] Vậy đáp án đúng là: C. \( y' = \frac{1}{x \ln 5} \) Đáp án: C. \( y' = \frac{1}{x \ln 5} \) Câu 4. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. A. $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ - Vì I là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB}$. Do đó, $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$. Khẳng định này đúng. B. $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AO}$ - Ta có $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. - Mặt khác, $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$. - Do đó, $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AO}$. Khẳng định này đúng. C. $\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OJ}$ - Vì J là trung điểm của CD, nên $\overrightarrow{OJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$. - Nhân cả hai vế với 2, ta có $2\overrightarrow{OJ} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$. Khẳng định này đúng. D. $\overrightarrow{OJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$ - Như đã chứng minh ở trên, vì J là trung điểm của CD, nên $\overrightarrow{OJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$. Khẳng định này đúng. Như vậy, tất cả các khẳng định đều đúng. Tuy nhiên, nếu phải chọn một khẳng định sai, thì có thể do lỗi trong đề bài hoặc do hiểu lầm nào đó. Nhưng dựa trên các tính toán trên, tất cả các khẳng định đều đúng. Đáp án: Không có khẳng định sai. Câu 5. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-\frac13x^3+x^2-4$ trên đoạn $[-2;2]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = -x^2 + 2x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ -x^2 + 2x = 0 \] \[ x(-x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn [-2;2]: - Tại $x = -2$: \[ y(-2) = -\frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 - 4 = -\frac{1}{3}(-8) + 4 - 4 = \frac{8}{3} \] - Tại $x = 0$: \[ y(0) = -\frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2 - 4 = -4 \] - Tại $x = 2$: \[ y(2) = -\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 4 = -\frac{1}{3}(8) + 4 - 4 = -\frac{8}{3} \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính: - $y(-2) = \frac{8}{3}$ - $y(0) = -4$ - $y(2) = -\frac{8}{3}$ Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $-4$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-\frac13x^3+x^2-4$ trên đoạn $[-2;2]$ là $-4$. Đáp án đúng là A. -4. Câu 6. Ta có: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ F(3) = 21 \quad \text{và} \quad F(1) = -1 \] Do đó: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 21 - (-1) = 21 + 1 = 22 \] Vậy giá trị của $\int_{1}^{3} f(x) \, dx$ là 22. Đáp án đúng là: A. 22. Câu 7. Để tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x - 3}{x + 2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện xác định của hàm số là: \[ x + 2 \neq 0 \] \[ x \neq -2 \] Bước 2: Tìm tâm đối xứng Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) là điểm \( \left( -\frac{d}{c}, \frac{a}{c} \right) \). Trong trường hợp này, ta có: \[ a = 1, \quad b = -3, \quad c = 1, \quad d = 2 \] Do đó, tọa độ tâm đối xứng là: \[ \left( -\frac{2}{1}, \frac{1}{1} \right) = (-2, 1) \] Vậy tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x - 3}{x + 2} \) là \( (-2, 1) \). Đáp án đúng là: B. \( (-2, 1) \) Câu 8. Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=2$ và công sai $d=-2$. Ta có: $u_2 = u_1 + d = 2 + (-2) = 0$ $u_3 = u_2 + d = 0 + (-2) = -2$ Vậy giá trị của $u_3$ là -2. Đáp án đúng là: C. -2. Câu 9. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp chữ nhật ABCD-A'B'C'D', các cạnh AB, AD và AA' vuông góc với nhau. Do đó, ta có thể coi AB và A'C' nằm trong cùng một mặt phẳng và góc giữa chúng sẽ là góc giữa hai đường thẳng này. Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng AB và A'C'. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình hộp chữ nhật và các công thức liên quan đến góc giữa hai đường thẳng. Bước 1: Xác định các cạnh và các điểm liên quan. - Cạnh AB = a√3 - Cạnh AD = a - Cạnh AA' = a (vì đây là hình hộp chữ nhật) Bước 2: Tìm độ dài của đường thẳng A'C'. - Ta có A'C' là đường chéo của hình chữ nhật A'B'C'D'. - Độ dài của A'C' có thể tính bằng công thức đường chéo của hình chữ nhật: \[ A'C' = \sqrt{(A'B')^2 + (B'C')^2} \] - Trong đó, A'B' = AD = a và B'C' = AB = a√3. \[ A'C' = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] Bước 3: Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và A'C'. - Ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] - Trong đó, \(\vec{u}\) là vectơ chỉ từ A đến B và \(\vec{v}\) là vectơ chỉ từ A đến C'. - Ta có: \[ \vec{u} = (a\sqrt{3}, 0, 0) \] \[ \vec{v} = (a\sqrt{3}, a, a) \] - Tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{3} + 0 \cdot a + 0 \cdot a = 3a^2 \] - Độ dài của \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\): \[ |\vec{u}| = a\sqrt{3} \] \[ |\vec{v}| = 2a \] - Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{3a^2}{(a\sqrt{3})(2a)} = \frac{3a^2}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Từ đó: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và A'C' là \(30^\circ\). Đáp án đúng là: D. \(30^\circ\). Câu 10. Để tìm tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (-1; 2; 3)$ và $\overrightarrow{b} = (2; -1; -2)$, ta sử dụng công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức: \[ [\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} \] Ta thực hiện phép nhân này như sau: \[ [\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] = \mathbf{i} \left( 2 \cdot (-2) - 3 \cdot (-1) \right) - \mathbf{j} \left( -1 \cdot (-2) - 3 \cdot 2 \right) + \mathbf{k} \left( -1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 \right) \] \[ = \mathbf{i} \left( -4 + 3 \right) - \mathbf{j} \left( 2 - 6 \right) + \mathbf{k} \left( 1 - 4 \right) \] \[ = \mathbf{i} \left( -1 \right) - \mathbf{j} \left( -4 \right) + \mathbf{k} \left( -3 \right) \] \[ = (-1; 4; -3) \] Vậy, tọa độ của tích có hướng $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]$ là $(-1; 4; -3)$. Do đó, đáp án đúng là: B. $(-1; 4; -3)$. Câu 11. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = 3^x \), trục tung và các đường thẳng \( y = 1 \) và \( x = 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giới hạn của tích phân: - Giới hạn trên là \( x = 2 \). - Giới hạn dưới là điểm giao giữa \( y = 3^x \) và \( y = 1 \). Ta giải phương trình \( 3^x = 1 \): \[ 3^x = 1 \implies x = 0 \] Vậy, giới hạn dưới là \( x = 0 \). 2. Xác định hàm số để tích phân: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \( y = 3^x \) và \( y = 1 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \) sẽ là: \[ S = \int_{0}^{2} (3^x - 1) \, dx \] 3. Kiểm tra đáp án: - Đáp án A: \( S = \int_{1}^{2} (3^x - 1) \, dx \) (sai vì giới hạn dưới không đúng) - Đáp án B: \( S = \int_{1}^{2} (1 - 3^x) \, dx \) (sai vì hàm số bị viết ngược) - Đáp án C: \( S = \int_{0}^{2} (3^x - 1) \, dx \) (đúng) - Đáp án D: \( S = \int_{0}^{2} (1 - 3^x) \, dx \) (sai vì hàm số bị viết ngược) Vậy đáp án đúng là: C. \( S = \int_{0}^{2} (3^x - 1) \, dx \) Câu 12. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) trong không gian Oxyz, ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng \( d \) được cho là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy rằng mỗi thành phần \( x, y, z \) đều phụ thuộc vào tham số \( t \). Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \] Khi đó, ta nhận thấy rằng: - Khi \( t \) tăng thêm 1 đơn vị, \( x \) tăng thêm 2 đơn vị. - Khi \( t \) tăng thêm 1 đơn vị, \( y \) giảm đi 1 đơn vị. - Khi \( t \) tăng thêm 1 đơn vị, \( z \) tăng thêm 1 đơn vị. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) sẽ là: \[ \overrightarrow{u} = (2, -1, 1) \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \overrightarrow{u} = (2, -1, 1) \) Đáp án: A. \( \overrightarrow{u} = (2, -1, 1) \)