Giải chi tiết

Câu 24. Để viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M(6;3;-5)$, $B(6;-5;1)$ và $K(1;3;-6)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng: - Vectơ $\overrightarrow{MB} = B - M = (6 - 6, -5 - 3, 1 + 5) = (0, -8, 6)$ - Vectơ $\overrightarrow{MK} = K - M = (1 - 6, 3 - 3, -6 + 5) = (-5, 0, -1)$ 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng $(\alpha)$ là tích vector của $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MK}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{MK} \] Ta tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -8 & 6 \\ -5 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-8)(-1) - (6)(0)) - \mathbf{j}((0)(-1) - (6)(-5)) + \mathbf{k}((0)(0) - (-8)(-5)) = \mathbf{i}(8) - \mathbf{j}(30) + \mathbf{k}(-40) = (8, -30, -40) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng. - Ta có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (8, -30, -40)$ và điểm $M(6, 3, -5)$. - Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 8(x - 6) - 30(y - 3) - 40(z + 5) = 0 \] \[ 8x - 48 - 30y + 90 - 40z - 200 = 0 \] \[ 8x - 30y - 40z - 158 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 4x - 15y - 20z - 79 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ 4x - 15y - 20z - 79 = 0 \] Đáp án đúng là: D. $4x - 15y - 20z - 79 = 0$ Câu 25. Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( I(8; -1; 8) \) và nhận vectơ \(\overrightarrow{DG}\) làm véctơ pháp tuyến, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính vectơ \(\overrightarrow{DG}\). \[ \overrightarrow{DG} = G - D = (-3 - 3; 6 - 7; 4 - 1) = (-6; -1; 3) \] Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( I(8; -1; 8) \) và nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (-6; -1; 3)\). Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ -6(x - 8) - 1(y + 1) + 3(z - 8) = 0 \] Bước 3: Rút gọn phương trình mặt phẳng. \[ -6x + 48 - y - 1 + 3z - 24 = 0 \] \[ -6x - y + 3z + 23 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -6x - y + 3z + 23 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: B. \(-6x - y + 3z + 23 = 0\).