CHO số phức $z$ và số phức $w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i$ thỏa mãn $\left|w-i^{2022} ight|-\left|i^{2023} \cdot \bar{w}-1 ight|=0$.
Giá trị lớn nhất của biểu thức

$
T=|z-3+i|^2+|\bar{z}+1-3 i|^2 ext { bằng } m+n \sqrt{5}
$

với $m, n \in R$. Tính $P=m . n$

Question

CHO số phức $z$ và số phức $w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i$ thỏa mãn $\left|w-i^{2022}ight|-\left|i^{2023} \cdot \bar{w}-1ight|=0$.
Giá trị lớn nhất của biểu thức

$
T=|z-3+i|^2+|\bar{z}+1-3 i|^2 	ext { bằng } m+n \sqrt{5}
$

với $m, n \in R$. Tính $P=m . n$

Accepted Answer

Đặt $w=a+b i \quad(a ; b \in \mathbb{R})$

$\Rightarrow \bar{w}=a-b i$
Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \left|w-i^{2022} ight|-\left|i^{2023} \bar{w}-1 ight|=0 \
\Leftrightarrow & |w-(-1)|-|-i \bar{w}-1|=0 \
\Leftrightarrow & |w+1|-|\bar{w}-i|=0 \
\Leftrightarrow & |w+1|=|\bar{w}-i| \
\Leftrightarrow & (a+1)^2+b^2=a^2+(-b-1)^2 \
\Leftrightarrow & a=b
\end{aligned}
$$

Do đó: $w=a+a i$
Đặt $z=x+y i \quad(x ; y \in \mathbb{R})$
$\Rightarrow \bar{z}=x-y i$ và $M(x ; y)$ là điếm biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức
Ta có:

$$
\begin{aligned}
& w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i \
\Leftrightarrow & a+a i=[x+(y-1) i][x-(y-1) i]+2(x+y i)-3 i \
\Leftrightarrow & a+a i=x^2+y^2+2 x-2 y+1+(2 y-3) i \
\Leftrightarrow & \left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2+2 x-2 y+1=a \
2 y-3=a
\end{array} ight. \
\Leftrightarrow & (x+1)^2+(y-2)^2=1
\end{aligned}
$$

$\Rightarrow$ Tập hợp điếm $M$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(-1 ; 2) ; R=1$
Ta được:

$$
\begin{aligned}
& T=|z-3+i|^2+|\bar{z}+1-3 i|^2=M A^2+M B^2 \
& ext { với } A(3 ;-1) ; B(-1 ;-3) \
& \Rightarrow I A ; I B>R \Rightarrow A ; B ext { nằm ngoài }(C)
\end{aligned}
$$

Gọi $H$ là trung điếm $A B$

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
H(1 ;-2) \
\overrightarrow{H A}+\overrightarrow{H B}=\overrightarrow{0}
\end{array} ight. \
& \Rightarrow I H=2 \sqrt{5}>R \Rightarrow H ext { nằm ngoài }(C)
\end{aligned}
$$
Ta được:

$M A^2+M B^2=2 M H^2+H A^2+H B^2$

Do đó: $M A^2+M B^2$ Iớn nhất khi $M H$ lớn nhất

$\Leftrightarrow M H_{\max }=I H+R=1+2 \sqrt{5}$

Khi đó:

$$
\begin{aligned}
& \left(M A^2+M B^2 ight)_{\max }=2(1+2 \sqrt{5})^2+10 \
& \Leftrightarrow T_{\max }=52+8 \sqrt{5} \
& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
m=52 \
n=8
\end{array} ight. \
& \Rightarrow m \cdot n=52.8 \
& \Rightarrow P=416
\end{aligned}
$$

CHO số phức và số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức...