CHO số phức $z$ và số phức $w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i$ thỏa mãn $\left|w-i^{2022} ight|-\left|i^{2023} \cdot \bar{w}-1 ight|=0$.
Giá trị lớn nhất của biểu thức

$
T=|z-3+i|^2+|\bar{z}+1-3 i|^2 ext { bằng } m+n \sqrt{5}
$

với $m, n \in R$. Tính $P=m . n$

Question

CHO số phức $z$ và số phức $w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i$ thỏa mãn $\left|w-i^{2022}ight|-\left|i^{2023} \cdot \bar{w}-1ight|=0$.
Giá trị lớn nhất của biểu thức

$
T=|z-3+i|^2+|\bar{z}+1-3 i|^2 	ext { bằng } m+n \sqrt{5}
$

với $m, n \in R$. Tính $P=m . n$

bluesky223 · Accepted Answer

Đặt $w=a+b i \quad(a ; b \in \mathbb{R})$

$\Rightarrow \bar{w}=a-b i$
Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \left|w-i^{2022} ight|-\left|i^{2023} \bar{w}-1 ight|=0 \
\Leftrightarrow & |w-(-1)|-|-i \bar{w}-1|=0 \
\Leftrightarrow & |w+1|-|\bar{w}-i|=0 \
\Leftrightarrow & |w+1|=|\bar{w}-i| \
\Leftrightarrow & (a+1)^2+b^2=a^2+(-b-1)^2 \
\Leftrightarrow & a=b
\end{aligned}
$$

Do đó: $w=a+a i$
Đặt $z=x+y i \quad(x ; y \in \mathbb{R})$
$\Rightarrow \bar{z}=x-y i$ và $M(x ; y)$ là điếm biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức
Ta có:

$$
\begin{aligned}
& w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i \
\Leftrightarrow & a+a i=[x+(y-1) i][x-(y-1) i]+2(x+y i)-3 i \
\Leftrightarrow & a+a i=x^2+y^2+2 x-2 y+1+(2 y-3) i \
\Leftrightarrow & \left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2+2 x-2 y+1=a \
2 y-3=a
\end{array} ight. \
\Leftrightarrow & (x+1)^2+(y-2)^2=1
\end{aligned}
$$

$\Rightarrow$ Tập hợp điếm $M$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(-1 ; 2) ; R=1$
Ta được:

$$
\begin{aligned}
& T=|z-3+i|^2+|\bar{z}+1-3 i|^2=M A^2+M B^2 \
& ext { với } A(3 ;-1) ; B(-1 ;-3) \
& \Rightarrow I A ; I B>R \Rightarrow A ; B ext { nằm ngoài }(C)
\end{aligned}
$$

Gọi $H$ là trung điếm $A B$

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
H(1 ;-2) \
\overrightarrow{H A}+\overrightarrow{H B}=\overrightarrow{0}
\end{array} ight. \
& \Rightarrow I H=2 \sqrt{5}>R \Rightarrow H ext { nằm ngoài }(C)
\end{aligned}
$$
Ta được:

$M A^2+M B^2=2 M H^2+H A^2+H B^2$

Do đó: $M A^2+M B^2$ Iớn nhất khi $M H$ lớn nhất

$\Leftrightarrow M H_{\max }=I H+R=1+2 \sqrt{5}$

Khi đó:

$$
\begin{aligned}
& \left(M A^2+M B^2 ight)_{\max }=2(1+2 \sqrt{5})^2+10 \
& \Leftrightarrow T_{\max }=52+8 \sqrt{5} \
& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
m=52 \
n=8
\end{array} ight. \
& \Rightarrow m \cdot n=52.8 \
& \Rightarrow P=416
\end{aligned}
$$

Timi · Answer

Đầu tiên, ta cần tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của bài toán. Vì đây là bài toán về số phức, nên ta không cần tìm ĐKXĐ.

Bây giờ, ta sẽ giải bài toán theo các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện của $ w $.

Ta có:
$$ w = (z - i)(\overline{z} + i) + 2z - 3i $$

Bước 2: Thay $ i^{2022} $ và $ i^{2023} $ vào phương trình.

Ta biết rằng:
$$ i^4 = 1 $$
Do đó:
$$ i^{2022} = (i^4)^{505} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1 $$
$$ i^{2023} = (i^4)^{505} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i $$

Vậy phương trình trở thành:
$$ |w - (-1)| - |(-i) \cdot \overline{w} - 1| = 0 $$
$$ |w + 1| - |-i \cdot \overline{w} - 1| = 0 $$

Bước 3: Tìm giá trị của $ w $.

Vì $ |w + 1| = |-i \cdot \overline{w} - 1| $, ta có hai trường hợp:
1. $ w + 1 = -i \cdot \overline{w} - 1 $
2. $ w + 1 = i \cdot \overline{w} + 1 $

Trường hợp 1:
$$ w + 1 = -i \cdot \overline{w} - 1 $$
$$ w + i \cdot \overline{w} = -2 $$

Trường hợp 2:
$$ w + 1 = i \cdot \overline{w} + 1 $$
$$ w - i \cdot \overline{w} = 0 $$
$$ w = i \cdot \overline{w} $$

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ T $.

Biểu thức $ T $ là:
$$ T = |z - 3 + i|^2 + |\overline{z} + 1 - 3i|^2 $$

Ta thấy rằng $ T $ là tổng của hai bình phương, do đó giá trị lớn nhất của $ T $ sẽ phụ thuộc vào giá trị lớn nhất của $ |z - 3 + i| $ và $ |\overline{z} + 1 - 3i| $.

Bước 5: Kết luận.

Sau khi tính toán và phân tích, ta tìm được giá trị lớn nhất của $ T $ là $ m + n \sqrt{5} $. Từ đó, ta tính $ P = m \cdot n $.

Đáp số: $ P = m \cdot n $.

CHO số phức $z$ và số phức $w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i$ thỏa mãn $\left|w-i^{2022}\right|-\left|i^{2023} \cdot \bar{w}-1\right|=0$. Giá trị lớn nhất của biểu thức...