Giúp mình làm bài này với

Câu 3: Thể tích của chiếc đèn cói là: $V = \int_{0}^{4}\pi (\sqrt{4 - x})^2 dx = \pi \int_{0}^{4}(4 - x)dx = \pi (4x - \frac{x^2}{2})|_{0}^{4} = 8\pi \approx 25,1 dm^3$ Đáp số: 25,1 dm^3 Câu 4: Phương trình của nửa đường tròn tâm O, bán kính $r=2$ nằm phía trên trục Ox là: \[ y = \sqrt{4 - x^2} \] Khi quay hình phẳng D quanh trục Ox, ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay. Để tính thể tích của khối này, ta sử dụng phương pháp cắt lát và tích phân. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, trục Ox, và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$, $a = 1$, và $b = 2$. Do đó, thể tích của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (\sqrt{4 - x^2})^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx \] Bây giờ, ta thực hiện tích phân: \[ V = \pi \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \] \[ V = \pi \left( \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} \right) \right) \] \[ V = \pi \left( \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( 4 - \frac{1}{3} \right) \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{24}{3} - \frac{8}{3} - \frac{12}{3} + \frac{1}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{24 - 8 - 12 + 1}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{5}{3} \right) \] \[ V = \frac{5\pi}{3} \] Vậy thể tích của khối tròn xoay là: \[ \boxed{\frac{5\pi}{3}} \] Câu 5: Để tính diện tích của hình phẳng S giới hạn bởi các đường $y=2^x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân. - Cận dưới là $x=0$. - Cận trên là $x=2$. Bước 2: Viết biểu thức tích phân để tính diện tích. Diện tích S được tính bằng tích phân của hàm số $y=2^x$ từ $x=0$ đến $x=2$: \[ S = \int_{0}^{2} 2^x \, dx \] Bước 3: Tính tích phân. Ta biết rằng $\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$. Do đó: \[ S = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{2} \] \[ S = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} \] \[ S = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \] \[ S = \frac{4 - 1}{\ln 2} \] \[ S = \frac{3}{\ln 2} \] Bước 4: So sánh với dạng $\frac{a}{\ln b}$. Ta thấy rằng $S = \frac{3}{\ln 2}$, do đó $a = 3$ và $b = 2$. Bước 5: Tính giá trị của biểu thức $T = a + 2024b$. \[ T = 3 + 2024 \times 2 \] \[ T = 3 + 4048 \] \[ T = 4051 \] Vậy giá trị của biểu thức $T = 4051$. Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x), y=0, x=-2$ và $x=3$ là: $S = \left| \int^1_{-2} f(x) dx \right| + \left| \int^3_1 f(x) dx \right|$ $= |8| + |5| = 13$. Đáp số: 13. Câu 7: Để tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = x^3 - x^2 - 12x$ và trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các giao điểm của đường cong với trục Ox: Ta giải phương trình: \[ x^3 - x^2 - 12x = 0 \] Factorizing the equation: \[ x(x^2 - x - 12) = 0 \] \[ x(x - 4)(x + 3) = 0 \] Vậy các giao điểm là: \[ x = 0, \quad x = 4, \quad x = -3 \] 2. Xác định khoảng tích phân: Các giao điểm chia đoạn trên trục Ox thành ba khoảng: $[-3, 0]$, $[0, 4]$. Ta sẽ tính diện tích trên mỗi khoảng này. 3. Tính diện tích trên mỗi khoảng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox từ $x = a$ đến $x = b$ là: \[ A = \left| \int_{a}^{b} y \, dx \right| \] - Trên khoảng $[-3, 0]$: \[ A_1 = \left| \int_{-3}^{0} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx \right| \] Tính tích phân: \[ \int_{-3}^{0} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 6x^2 \right]_{-3}^{0} \] \[ = \left( 0 - 0 - 0 \right) - \left( \frac{(-3)^4}{4} - \frac{(-3)^3}{3} - 6(-3)^2 \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{81}{4} + 9 - 54 \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{81}{4} + 9 - 54 \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{81}{4} + \frac{36}{4} - \frac{216}{4} \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{81 + 36 - 216}{4} \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{-99}{4} \right) \] \[ = \frac{99}{4} \] \[ A_1 = \frac{99}{4} = 24.75 \] - Trên khoảng $[0, 4]$: \[ A_2 = \left| \int_{0}^{4} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx \right| \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{4} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 6x^2 \right]_{0}^{4} \] \[ = \left( \frac{4^4}{4} - \frac{4^3}{3} - 6 \cdot 4^2 \right) - \left( 0 - 0 - 0 \right) \] \[ = \left( \frac{256}{4} - \frac{64}{3} - 96 \right) \] \[ = \left( 64 - \frac{64}{3} - 96 \right) \] \[ = \left( \frac{192}{3} - \frac{64}{3} - \frac{288}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{192 - 64 - 288}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{-160}{3} \right) \] \[ = \frac{160}{3} \] \[ A_2 = \frac{160}{3} \approx 53.33 \] 4. Tổng diện tích: Tổng diện tích của hình phẳng (H) là: \[ A = A_1 + A_2 = 24.75 + 53.33 = 78.08 \] Vậy diện tích của hình phẳng (H) xấp xỉ bằng 78.1 (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 8: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = -x^2 + 4x - 3$, $x = 0$, $x = 3$ và trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Ta thấy rằng hàm số $y = -x^2 + 4x - 3$ cắt trục Ox tại các điểm giao của nó với trục Ox. Để tìm các điểm này, ta giải phương trình: \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] Điều này tương đương với: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = 3 \] 2. Tính diện tích hình phẳng: - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên là: \[ S = \int_{0}^{1} (-x^2 + 4x - 3) \, dx + \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \] 3. Tính từng tích phân: - Tính $\int_{0}^{1} (-x^2 + 4x - 3) \, dx$: \[ \int_{0}^{1} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{0}^{1} \] Thay cận vào: \[ = \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 \right) \] \[ = \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) - 0 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} \] - Tính $\int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx$: \[ \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} \] Thay cận vào: \[ = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) \] \[ = \left( -9 + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) \] \[ = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \] 4. Tổng diện tích: - Tổng diện tích hình phẳng là: \[ S = \left| -\frac{4}{3} \right| + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \] 5. Tìm giá trị của biểu thức $T = a^2 + b^2$: - Biết rằng $S = \frac{8}{3}$, ta có $a = 8$ và $b = 3$. - Vậy: \[ T = a^2 + b^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73 \] Đáp số: $T = 73$