Giúp với ạ

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu đề bài. Phần a: Chứng minh rằng \( AC \perp (SBD) \) 1. Chứng minh \( AC \perp BD \): - Vì \( ABCD \) là hình vuông nên \( AC \perp BD \). 2. Chứng minh \( AC \perp SB \): - Xét tam giác \( SAB \): - \( SA = SB = 3a \) - \( AB = a \) - Ta có \( SA^2 + AB^2 = (3a)^2 + a^2 = 9a^2 + a^2 = 10a^2 \) - \( SB^2 = (3a)^2 = 9a^2 \) - Do đó, \( SA^2 + AB^2 > SB^2 \), suy ra tam giác \( SAB \) là tam giác vuông tại \( A \). - Từ đó, \( SA \perp AB \). 3. Chứng minh \( AC \perp SD \): - Xét tam giác \( SAD \): - \( SA = SD = 3a \) - \( AD = a \) - Ta có \( SA^2 + AD^2 = (3a)^2 + a^2 = 9a^2 + a^2 = 10a^2 \) - \( SD^2 = (3a)^2 = 9a^2 \) - Do đó, \( SA^2 + AD^2 > SD^2 \), suy ra tam giác \( SAD \) là tam giác vuông tại \( A \). - Từ đó, \( SA \perp AD \). 4. Kết luận: - Vì \( AC \perp BD \) và \( AC \perp SB \), \( AC \perp SD \), nên \( AC \perp (SBD) \). Phần b: Tính góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) 1. Xác định đường cao từ \( S \) xuống \( (ABCD) \): - Gọi \( O \) là tâm của hình vuông \( ABCD \). - \( SO \) là đường cao hạ từ \( S \) xuống \( (ABCD) \). 2. Tính khoảng cách từ \( S \) đến \( O \): - \( O \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} \). - Xét tam giác \( SAO \): - \( SA = 3a \) - \( AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} \) - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác \( SAO \): \[ SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(3a)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{9a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{18a^2 - a^2}{2}} = \sqrt{\frac{17a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{34}}{2} \] 3. Tính góc giữa \( SB \) và \( (ABCD) \): - Gọi \( \alpha \) là góc giữa \( SB \) và \( (ABCD) \). - \( \sin \alpha = \frac{SO}{SB} = \frac{\frac{a\sqrt{34}}{2}}{3a} = \frac{\sqrt{34}}{6} \) - Vậy góc giữa \( SB \) và \( (ABCD) \) là \( \alpha = \arcsin \left( \frac{\sqrt{34}}{6} \right) \). Đáp số: - \( AC \perp (SBD) \) - Góc giữa \( SB \) và \( (ABCD) \) là \( \arcsin \left( \frac{\sqrt{34}}{6} \right) \).