GahsdhhdhG

Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = \ln x \) trên khoảng \((0; +\infty)\), ta cần tìm hàm số \( f(x) \) sao cho \( F'(x) = f(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) = \ln x \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}. \] Bước 2: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) - Đáp án B: \( f(x) = -\frac{1}{x} \) - Đáp án C: \( f(x) = \frac{1}{x} \) - Đáp án D: \( f(x) = -\frac{1}{x^2} \) Như vậy, đạo hàm của \( \ln x \) là \( \frac{1}{x} \). Do đó, hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} \) là nguyên hàm của hàm số \( F(x) = \ln x \). Đáp án đúng là: C. \( f(x) = \frac{1}{x} \). Câu 2: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = 2x^9 + 1945 \), ta cần xác định hàm số \( f(x) \) sao cho \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \). Bước 1: Xác định đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2x^9 + 1945) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ F'(x) = 2 \cdot 9x^8 + 0 = 18x^8 \] Bước 2: Kết luận: Nguyên hàm của hàm số \( F(x) = 2x^9 + 1945 \) là hàm số \( f(x) = 18x^8 \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( f(x) = 18x^8 \). Câu 3: Để tìm $F(x)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của $f(x)$: \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( 5x^4 + \frac{1}{x^3} \right) \, dx \] Bước 2: Tính từng phần nguyên hàm: \[ \int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 \] \[ \int \frac{1}{x^3} \, dx = \int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2} \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên: \[ F(x) = x^5 - \frac{1}{2x^2} + C \] Bước 4: Áp dụng điều kiện $F(1) = 0$ để tìm hằng số $C$: \[ F(1) = 1^5 - \frac{1}{2 \cdot 1^2} + C = 0 \] \[ 1 - \frac{1}{2} + C = 0 \] \[ \frac{1}{2} + C = 0 \] \[ C = -\frac{1}{2} \] Bước 5: Thay $C$ vào biểu thức của $F(x)$: \[ F(x) = x^5 - \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: C. $F(x) = x^5 - \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{2}$. Câu 4: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x + 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). - Nguyên hàm của hằng số 2 là \( 2x \). Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). Do đó, họ nguyên hàm của \( f(x) = \sin x + 2 \) là: \[ F(x) = -\cos x + 2x + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \( -\cos x + 2x + C \). Câu 5: Ta có: \[ \int^b_a2f(x)dx = 2\int^b_af(x)dx \] Biết rằng: \[ \int^b_af(x)dx = 2025 \] Do đó: \[ 2\int^b_af(x)dx = 2 \times 2025 = 4050 \] Vậy giá trị của $\int^b_a2f(x)dx$ là 4050. Đáp án đúng là: A. 4050. Câu 6: Để tính $\int^2_0(6x^2-2x)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = 6x^2 - 2x$. Ta có: \[ \int (6x^2 - 2x) dx = \int 6x^2 dx - \int 2x dx \] Tính từng phần: \[ \int 6x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \] \[ \int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] Vậy: \[ \int (6x^2 - 2x) dx = 2x^3 - x^2 + C \] Bước 2: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm đã tìm được. \[ \int^2_0 (6x^2 - 2x) dx = [2x^3 - x^2]_0^2 \] Thay giá trị cận trên (x = 2): \[ 2(2)^3 - (2)^2 = 2 \cdot 8 - 4 = 16 - 4 = 12 \] Thay giá trị cận dưới (x = 0): \[ 2(0)^3 - (0)^2 = 0 \] Bước 3: Tính hiệu giữa giá trị tại cận trên và cận dưới. \[ [2x^3 - x^2]_0^2 = 12 - 0 = 12 \] Vậy $\int^2_0 (6x^2 - 2x) dx = 12$. Đáp án đúng là: B. 12. Câu 7: Để tìm thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = \sin x \), trục Ox, trục Oy và đường thẳng \( x = \frac{\pi}{2} \) xung quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = \sin x \) - Giới hạn tích phân từ \( a = 0 \) đến \( b = \frac{\pi}{2} \) Áp dụng vào công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^2 \, dx \] Do đó, mệnh đề đúng là: A. \( V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx \) Đáp án: A. \( V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx \) Câu 8: Để xác định diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( x = a \), \( x = b \), và trục Ox, chúng ta cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \). Diện tích \( S \) được tính bằng công thức: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lý do là vì diện tích luôn là một giá trị dương, bất kể hàm số \( f(x) \) có thể nhận giá trị âm hoặc dương trong khoảng \( [a, b] \). Tích phân của giá trị tuyệt đối đảm bảo rằng tất cả các phần diện tích đều được tính như là các giá trị dương. Do đó, khẳng định đúng là: C. \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \) Đáp án: C. \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \) Câu 9: Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2 + 2x$ và $y = x + 6$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường cong Ta giải phương trình: \[ x^2 + 2x = x + 6 \] \[ x^2 + x - 6 = 0 \] Phương trình này có dạng bậc hai, ta giải bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -6 \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = -3 \] Bước 2: Xác định khoảng tích phân Hai giao điểm là \( x = -3 \) và \( x = 2 \). Diện tích S sẽ được tính từ \( x = -3 \) đến \( x = 2 \). Bước 3: Tính diện tích S Diện tích S được tính bằng tích phân của hiệu giữa hàm số trên và hàm số dưới trong khoảng từ \( x = -3 \) đến \( x = 2 \): \[ S = \int_{-3}^{2} [(x + 6) - (x^2 + 2x)] \, dx \] \[ S = \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6) \, dx \] Bước 4: Tính tích phân \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-3}^{2} \] Tính tại \( x = 2 \): \[ -\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 6 \cdot 2 = -\frac{8}{3} - 2 + 12 = -\frac{8}{3} + 10 = \frac{22}{3} \] Tính tại \( x = -3 \): \[ -\frac{(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^2}{2} + 6 \cdot (-3) = \frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 18 = 9 - \frac{9}{2} - 18 = -\frac{27}{2} \] Diện tích S: \[ S = \left( \frac{22}{3} \right) - \left( -\frac{27}{2} \right) = \frac{22}{3} + \frac{27}{2} = \frac{44}{6} + \frac{81}{6} = \frac{125}{6} \] Kết luận: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + 2x \) và \( y = x + 6 \) là: \[ S = \frac{125}{6} \] Đáp án đúng là: C. \( S = \frac{125}{6} \) Câu 10: Để tìm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến vuông góc với vectơ AB. Bước 1: Tính vectơ AB: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 4; 2 - 0; 3 - 1) = (-6; 2; 2) \] Bước 2: Kiểm tra xem các vectơ pháp tuyến đã cho có vuông góc với vectơ AB hay không bằng cách tính tích vô hướng. - Với $\overrightarrow{n_1} = (3; -1; -1)$: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{AB} = 3 \times (-6) + (-1) \times 2 + (-1) \times 2 = -18 - 2 - 2 = -22 \neq 0 \] Do đó, $\overrightarrow{n_1}$ không vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. - Với $\overrightarrow{n_2} = (2; 2; 2)$: \[ \overrightarrow{n_2} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \times (-6) + 2 \times 2 + 2 \times 2 = -12 + 4 + 4 = -4 \neq 0 \] Do đó, $\overrightarrow{n_2}$ không vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. - Với $\overrightarrow{n_3} = (1; 1; 2)$: \[ \overrightarrow{n_3} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times (-6) + 1 \times 2 + 2 \times 2 = -6 + 2 + 4 = 0 \] Do đó, $\overrightarrow{n_3}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. - Với $\overrightarrow{n_4} = (6; 2; 2)$: \[ \overrightarrow{n_4} \cdot \overrightarrow{AB} = 6 \times (-6) + 2 \times 2 + 2 \times 2 = -36 + 4 + 4 = -28 \neq 0 \] Do đó, $\overrightarrow{n_4}$ không vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. Như vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là $\overrightarrow{n_3} = (1; 1; 2)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{n_3} = (1; 1; 2)$. Câu 11: Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn đã cho đi qua gốc tọa độ (0, 0, 0), ta thay tọa độ của điểm này vào phương trình của mỗi mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình đó có đúng hay không. A. \( x + 20 = 0 \) Thay \( x = 0 \): \[ 0 + 20 = 20 \neq 0 \] Vậy phương trình này không đúng, do đó mặt phẳng này không đi qua gốc tọa độ. B. \( x - 2019 = 0 \) Thay \( x = 0 \): \[ 0 - 2019 = -2019 \neq 0 \] Vậy phương trình này không đúng, do đó mặt phẳng này không đi qua gốc tọa độ. C. \( y + 5 = 0 \) Thay \( y = 0 \): \[ 0 + 5 = 5 \neq 0 \] Vậy phương trình này không đúng, do đó mặt phẳng này không đi qua gốc tọa độ. D. \( 2x + 5y - 8z = 0 \) Thay \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \): \[ 2(0) + 5(0) - 8(0) = 0 \] Vậy phương trình này đúng, do đó mặt phẳng này đi qua gốc tọa độ. Kết luận: Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ là \( 2x + 5y - 8z = 0 \). Đáp án: D. \( 2x + 5y - 8z = 0 \). Câu 12: Để xác định mối quan hệ giữa các mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ và $(R)$, ta cần kiểm tra các hệ số của phương trình của chúng. Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là: \[ 2x + 6y - 4z + 8 = 0 \] Phương trình của mặt phẳng $(Q)$ là: \[ 5x + 15y - 10z + 20 = 0 \] Phương trình của mặt phẳng $(R)$ là: \[ 6x + 18y - 12z - 24 = 0 \] Ta thấy rằng: 1. Mặt phẳng $(P)$ có các hệ số \(a_1 = 2\), \(b_1 = 6\), \(c_1 = -4\) và \(d_1 = 8\). 2. Mặt phẳng $(Q)$ có các hệ số \(a_2 = 5\), \(b_2 = 15\), \(c_2 = -10\) và \(d_2 = 20\). 3. Mặt phẳng $(R)$ có các hệ số \(a_3 = 6\), \(b_3 = 18\), \(c_3 = -12\) và \(d_3 = -24\). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra mối quan hệ giữa các mặt phẳng này: - Kiểm tra mối quan hệ giữa $(P)$ và $(Q)$: \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-10} = \frac{2}{5}, \quad \frac{d_1}{d_2} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} \] Ta thấy rằng \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{d_1}{d_2}\), do đó $(P)$ song song với $(Q)$. - Kiểm tra mối quan hệ giữa $(Q)$ và $(R)$: \[ \frac{a_2}{a_3} = \frac{5}{6}, \quad \frac{b_2}{b_3} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}, \quad \frac{c_2}{c_3} = \frac{-10}{-12} = \frac{5}{6}, \quad \frac{d_2}{d_3} = \frac{20}{-24} = -\frac{5}{6} \] Ta thấy rằng \(\frac{a_2}{a_3} = \frac{b_2}{b_3} = \frac{c_2}{c_3} \neq \frac{d_2}{d_3}\), do đó $(Q)$ cắt $(R)$. - Kiểm tra mối quan hệ giữa $(R)$ và $(P)$: \[ \frac{a_3}{a_1} = \frac{6}{2} = 3, \quad \frac{b_3}{b_1} = \frac{18}{6} = 3, \quad \frac{c_3}{c_1} = \frac{-12}{-4} = 3, \quad \frac{d_3}{d_1} = \frac{-24}{8} = -3 \] Ta thấy rằng \(\frac{a_3}{a_1} = \frac{b_3}{b_1} = \frac{c_3}{c_1} \neq \frac{d_3}{d_1}\), do đó $(R)$ cắt $(P)$. Từ các phép tính trên, ta thấy rằng mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$, và mặt phẳng $(Q)$ cắt mặt phẳng $(R)$. Do đó, mệnh đề đúng là: D. $(R) // (P)$. Đáp án: D. $(R) // (P)$.