giải hộ tôi

Câu 1. Để tính giá trị của biểu thức \( P = a^{\log^2_3 7} + b^{\log^2_7 11} + c^{\log^2_{11} 25} \), ta sẽ lần lượt tính giá trị của từng thành phần trong biểu thức này. Trước tiên, ta xét từng biến số \(a\), \(b\), và \(c\) theo các điều kiện đã cho: 1. \( a^{\log_3 7} = 27 \) 2. \( b^{\log_7 11} = 49 \) 3. \( c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11} \) Bước 1: Tính giá trị của \(a\) Ta có: \[ a^{\log_3 7} = 27 \] Biến đổi \(27\) dưới dạng lũy thừa cơ số \(3\): \[ 27 = 3^3 \] Do đó: \[ a^{\log_3 7} = 3^3 \] Áp dụng tính chất của lôgarit: \[ a = 3^{\frac{3}{\log_3 7}} \] Bước 2: Tính giá trị của \(b\) Ta có: \[ b^{\log_7 11} = 49 \] Biến đổi \(49\) dưới dạng lũy thừa cơ số \(7\): \[ 49 = 7^2 \] Do đó: \[ b^{\log_7 11} = 7^2 \] Áp dụng tính chất của lôgarit: \[ b = 7^{\frac{2}{\log_7 11}} \] Bước 3: Tính giá trị của \(c\) Ta có: \[ c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11} \] Biến đổi \(\sqrt{11}\) dưới dạng lũy thừa cơ số \(11\): \[ \sqrt{11} = 11^{\frac{1}{2}} \] Do đó: \[ c^{\log_{11} 25} = 11^{\frac{1}{2}} \] Áp dụng tính chất của lôgarit: \[ c = 11^{\frac{\frac{1}{2}}{\log_{11} 25}} = 11^{\frac{1}{2 \log_{11} 25}} \] Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \(P\) Bây giờ, ta sẽ tính từng thành phần của biểu thức \(P\): 1. \( a^{\log^2_3 7} \): \[ a = 3^{\frac{3}{\log_3 7}} \] \[ a^{\log^2_3 7} = \left(3^{\frac{3}{\log_3 7}}\right)^{\log^2_3 7} = 3^{3 \cdot \log_3 7} = 3^3 = 27 \] 2. \( b^{\log^2_7 11} \): \[ b = 7^{\frac{2}{\log_7 11}} \] \[ b^{\log^2_7 11} = \left(7^{\frac{2}{\log_7 11}}\right)^{\log^2_7 11} = 7^{2 \cdot \log_7 11} = 7^2 = 49 \] 3. \( c^{\log^2_{11} 25} \): \[ c = 11^{\frac{1}{2 \log_{11} 25}} \] \[ c^{\log^2_{11} 25} = \left(11^{\frac{1}{2 \log_{11} 25}}\right)^{\log^2_{11} 25} = 11^{\frac{1}{2} \cdot \log_{11} 25} = 11^{\frac{1}{2}} = \sqrt{11} \] Cuối cùng, ta cộng các giá trị lại: \[ P = 27 + 49 + \sqrt{11} \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) là: \[ P = 27 + 49 + \sqrt{11} = 76 + \sqrt{11} \] Đáp số: \( P = 76 + \sqrt{11} \) Câu 2. Để xác định tập xác định của hàm số \( y = \ln(2025 - x^2) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit là dương, tức là: \[ 2025 - x^2 > 0 \] Bước 1: Giải bất phương trình \( 2025 - x^2 > 0 \). \[ 2025 > x^2 \] \[ x^2 < 2025 \] Bước 2: Tìm các giá trị của \( x \) thỏa mãn \( x^2 < 2025 \). \[ -\sqrt{2025} < x < \sqrt{2025} \] \[ -45 < x < 45 \] Bước 3: Xác định các số nguyên dương thuộc khoảng \( -45 < x < 45 \). Các số nguyên dương từ 1 đến 44 đều thỏa mãn điều kiện trên. Bước 4: Đếm số lượng các số nguyên dương từ 1 đến 44. Số lượng các số nguyên dương từ 1 đến 44 là: \[ 44 - 1 + 1 = 44 \] Vậy có 44 số nguyên dương \( x \) thuộc tập xác định của hàm số \( y = \ln(2025 - x^2) \). Đáp số: 44 Câu 3. Để tính $\tan$ của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài các cạnh trong tam giác ABC: - Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại C, nên ta có: \[ AB = AC \sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \] - Độ dài cạnh BC cũng bằng AC vì tam giác ABC là tam giác vuông cân: \[ BC = AC = 1 \] 2. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng ABC, nên khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC chính là độ dài đoạn thẳng SA: \[ SA = 2 \] 3. Tính độ dài đoạn thẳng SB: - Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAB (với SA vuông góc với AB): \[ SB^2 = SA^2 + AB^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 4 + 2 = 6 \] \[ SB = \sqrt{6} \] 4. Tính $\tan$ của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC: - Gọi góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC là $\theta$. Ta có: \[ \tan(\theta) = \frac{\text{khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC}}{\text{độ dài hình chiếu của SB trên mặt phẳng ABC}} \] - Hình chiếu của SB trên mặt phẳng ABC là đoạn thẳng AB: \[ \tan(\theta) = \frac{SA}{AB} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] 5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: - Ta có: \[ \sqrt{2} \approx 1.41 \] Vậy, $\tan$ của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ABC là: \[ \tan(\theta) \approx 1.41 \] Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định chiều cao của chóp (cột lều). 2. Tính độ dài dây đèn dựa vào chiều cao của chóp. Bước 1: Xác định chiều cao của chóp - Gọi \( O \) là tâm của lục giác đáy. - Gọi \( A \) là một đỉnh của lục giác đáy. - Gọi \( H \) là đỉnh chóp của chóp. Ta biết rằng góc giữa các thanh tre với mặt sàn là 30°, tức là góc \( \angle HOA = 30^\circ \). Chiều cao của chóp \( OH \) sẽ là: \[ OH = OA \cdot \tan(30^\circ) \] Bước 2: Tính độ dài dây đèn - Diện tích của lục giác đáy là 18 mét vuông. - Diện tích của một tam giác đều (mỗi tam giác đều trong lục giác đều) là: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{18}{6} = 3 \text{ mét vuông} \] - Diện tích của một tam giác đều có công thức: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \] \[ 3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \] \[ a^2 = \frac{3 \cdot 4}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \] \[ a = \sqrt{4\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3} \approx 2.29 \text{ mét} \] - Chiều cao của chóp \( OH \): \[ OH = OA \cdot \tan(30^\circ) = 2.29 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 1.32 \text{ mét} \] Vậy độ dài của dây đèn cần chuẩn bị là khoảng 1.32 mét, làm tròn đến hàng phần mười là 1.3 mét. Đáp số: 1.3 mét.