ai làm hộ mình mình vote 5 sao ah Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC $(AB

Question

ai làm hộ mình mình vote 5 sao ah Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC $(AB<AC)$ nội tiếp trong đường tròn (O) với ba đường,cao AD, BE,CF đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của BC và K là hình chiếu của,H trên AM.,(a) Chứng minh rằng BMKF và CMKE là các tứ giác nội tiếp.,(b) Chứng minh rằng $MB^2=MC^2=MK.MA.$,(c) Chứng minh rằng điểm K nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác BHC.

Accepted Answer

a, Xét $\displaystyle \Delta AHK$ và $\displaystyle \Delta AMD$, có:
$\displaystyle +\widehat{HAK}$ chung
$\displaystyle +\widehat{AKH} =\widehat{ADM} =90^{o}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \Delta AHK\backsim \Delta AMD\
\Rightarrow AK.AM=AH.AD
\end{array}$
Chứng minh tương tự được $\displaystyle \Delta AHF\backsim \Delta ABD$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow AH.AD=AF.AB\
\Rightarrow AK.AM=AF.AB\
\Rightarrow \Delta AFK\backsim \Delta AMB\
\Rightarrow \widehat{AKF} =\widehat{ABM}
\end{array}$
$\displaystyle \Rightarrow BMKF$ nội tiếp
Chứng minh tương tự được CMKE nội tiếp
b,
Vì CMKE nội tiếp đường tròn
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MKC} =\widehat{MEC}$
Tam giác BEC vuông tại E có EM là trung tuyến
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow EM=EC\
\Rightarrow \widehat{MEC} =\widehat{MCE}\
\Rightarrow \widehat{MKC} =\widehat{MCE}
\end{array}$
Xét $\displaystyle \Delta MKC$ và $\displaystyle \Delta MCA$, có:
$\displaystyle +\widehat{KMC}$ chung
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
+\ \widehat{MKC} =\widehat{MCA}\
\Rightarrow \Delta MKC\backsim \Delta MCA\
\Rightarrow MK.MA=MC^{2}
\end{array}$
mà $\displaystyle MC=MB\Rightarrow MB^{2} =MK.MA$

c, Vì MKEC nội tiếp
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MKC} =\widehat{MEC}$
mà tam giác EMB cân
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \widehat{EBM} =\widehat{BEM}\
\Rightarrow \widehat{EBM} +\widehat{MKC} =90^{o}
\end{array}$
Xét tứ giác BHKC có
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{HKC} +\widehat{HBC}\
=\widehat{HKM} +\widehat{MKC} +\widehat{HBC}\
=90^{o} +90^{o} =180^{o}
\end{array}$
$\displaystyle \Rightarrow BHKC$ nội tiếp đường tròn
$\displaystyle \Rightarrow K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC