Giúp em hết ạ Cau 2. Ch phơơng trình $4^{x^2}+(m-2).2^{x^3}-2m=0(1).$,a) Khi $m=-1$ thì phương trình (1) có đúng hai nghiệm và hai nghiệm đó trái dấu nhau. số giá trị nguyên m để,b) Khi phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt $x_1x_20x_3x_4;$,$x_1+x_2

Question

Giúp em hết ạ Cau 2. Ch phơơng trình $4^{x^2}+(m-2).2^{x^3}-2m=0(1).$,a) Khi $m=-1$ thì phương trình (1) có đúng hai nghiệm và hai nghiệm đó trái dấu nhau. số giá trị nguyên m để,b) Khi phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt $x_1>x_2>0>x_3>x_4;$,$x_1+x_2<3$ là 14.,c) Khi $m<-1$ thì phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.,d) Phương trình (1) luôn có ít nhất hai nghiệm.

Accepted Answer

Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần một. Phần a) Khi $ m = -1 $, phương trình trở thành: $$ 4^{x^2} + (-1 - 2) \cdot 2^{x^3} - 2(-1) = 0 $$ $$ 4^{x^2} - 3 \cdot 2^{x^3} + 2 = 0 $$ Đặt $ y = 2^{x^2} $, ta có: $$ y^2 - 3y + 2 = 0 $$ Phương trình này có các nghiệm: $$ y = 1 \quad \text{và} \quad y = 2 $$ Do đó: $$ 2^{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 $$ $$ 2^{x^2} = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 $$ Như vậy, phương trình có ba nghiệm: $ x = 0, x = 1, x = -1 $. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, phương trình phải có đúng hai nghiệm và hai nghiệm đó trái dấu nhau. Điều này không thỏa mãn vì phương trình có ba nghiệm, trong đó có nghiệm $ x = 0 $. Phần b) Phương trình ban đầu: $$ 4^{x^2} + (m-2) \cdot 2^{x^3} - 2m = 0 $$ Đặt $ y = 2^{x^2} $, ta có: $$ y^2 + (m-2) \cdot 2^{x^3} - 2m = 0 $$ Phương trình này phải có bốn nghiệm phân biệt $ x_1 > x_2 > 0 > x_3 > x_4 $ và $ x_1 + x_2 < 3 $. Để phương trình có bốn nghiệm phân biệt, ta cần $ m $ sao cho phương trình bậc hai $ y^2 + (m-2)y - 2m = 0 $ có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này đòi hỏi: $$ \Delta = (m-2)^2 + 8m > 0 $$ $$ m^2 - 4m + 4 + 8m > 0 $$ $$ m^2 + 4m + 4 > 0 $$ $$ (m+2)^2 > 0 $$ Điều kiện này luôn đúng ngoại trừ $ m = -2 $. Do đó, $ m \neq -2 $. Phần c) Khi $ m < -1 $, ta cần kiểm tra xem phương trình có bốn nghiệm phân biệt hay không. Phương trình: $$ y^2 + (m-2)y - 2m = 0 $$ Để phương trình có bốn nghiệm phân biệt, ta cần: $$ \Delta = (m-2)^2 + 8m > 0 $$ $$ m^2 - 4m + 4 + 8m > 0 $$ $$ m^2 + 4m + 4 > 0 $$ $$ (m+2)^2 > 0 $$ Điều kiện này luôn đúng ngoại trừ $ m = -2 $. Do đó, $ m < -1 $ đảm bảo phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Phần d) Phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm. Phương trình: $$ y^2 + (m-2)y - 2m = 0 $$ Để phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm, ta cần: $$ \Delta = (m-2)^2 + 8m \geq 0 $$ $$ m^2 - 4m + 4 + 8m \geq 0 $$ $$ m^2 + 4m + 4 \geq 0 $$ $$ (m+2)^2 \geq 0 $$ Điều kiện này luôn đúng ngoại trừ $ m = -2 $. Do đó, phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm. Kết luận a) Phương trình không thỏa mãn điều kiện có đúng hai nghiệm trái dấu nhau khi $ m = -1 $. b) Số giá trị nguyên $ m $ để phương trình có bốn nghiệm phân biệt là 14. c) Khi $ m < -1 $, phương trình có bốn nghiệm phân biệt. d) Phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm.