anh em oi cú toi

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của biểu thức \((-5x - 6)\), ta thực hiện theo từng bước như sau: Bước 1: Xác định từng thành phần trong biểu thức. Biểu thức cần tính nguyên hàm là \((-5x - 6)\). Bước 2: Tính nguyên hàm từng thành phần. - Nguyên hàm của \(-5x\) là \(-\frac{5x^2}{2}\). - Nguyên hàm của \(-6\) là \(-6x\). Bước 3: Cộng lại các nguyên hàm đã tìm được và thêm hằng số \(C\). \[ \int (-5x - 6) \, dx = -\frac{5x^2}{2} - 6x + C \] Vậy nguyên hàm của biểu thức \((-5x - 6)\) là: \[ -\frac{5x^2}{2} - 6x + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \(-\frac{5x^2}{2} - 6x + C\). Câu 2. Để tìm nguyên hàm của $\int 2\sin x \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\sin x$. Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x + C$. Bước 2: Nhân hệ số 2 vào nguyên hàm của $\sin x$. Do đó, nguyên hàm của $2\sin x$ sẽ là $2 \times (-\cos x) + C = -2\cos x + C$. Vậy nguyên hàm của $\int 2\sin x \, dx$ là $-2\cos x + C$. Đáp án đúng là: D. $-2\cos x + C$. Câu 3. Để tìm nguyên hàm của $\int \frac{1}{2} e^x \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số cơ bản $e^x$. Nguyên hàm của $e^x$ là $e^x + C$. Bước 2: Áp dụng tính chất của nguyên hàm để nhân hằng số vào nguyên hàm. $\int \frac{1}{2} e^x \, dx = \frac{1}{2} \int e^x \, dx = \frac{1}{2} (e^x + C)$ Bước 3: Gộp hằng số vào kết quả cuối cùng. $\frac{1}{2} (e^x + C) = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} C$ Vì $\frac{1}{2} C$ vẫn là một hằng số, chúng ta có thể viết lại dưới dạng $C$ mới: $\frac{1}{2} e^x + C$ Vậy nguyên hàm của $\int \frac{1}{2} e^x \, dx$ là $\frac{1}{2} e^x + C$. Đáp án đúng là: A. $\frac{1}{2} e^x + C$. Câu 4. Để tìm nguyên hàm của \(\int -3 \, dx\), chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Bước 1: Xác định nguyên hàm của hằng số. Nguyên hàm của một hằng số \(a\) là \(ax + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân. Bước 2: Áp dụng công thức trên cho hằng số \(-3\). \[ \int -3 \, dx = -3x + C \] Vậy, nguyên hàm của \(\int -3 \, dx\) là \(-3x + C\). Do đó, đáp án đúng là: B. \(-3x + C\). Câu 5. Ta có: \[ F(x) \text{ là một nguyên hàm của } f(x) \text{ trên tập xác định } \mathbb{R}. \] Theo định lý Newton-Leibniz, tích phân của hàm \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \) được tính bằng: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a). \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ \int_{3}^{10} f(x) \, dx = F(10) - F(3). \] Do đó, mệnh đề đúng là: D. \( \int_{3}^{10} f(x) \, dx = F(10) - F(3). \) Đáp án: D. \( \int_{3}^{10} f(x) \, dx = F(10) - F(3). \) Câu 6. Ta có: \[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ F(1) = -3 \quad \text{và} \quad F(0) = 6 \] Do đó: \[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = -3 - 6 = -9 \] Đáp án đúng là: A. -9. Câu 7. Ta xét từng khẳng định: A. $\int^{-3}_{-6}f(x)dx=-\int^{-3}_{-6}f(t)dt$ Theo tính chất của tích phân, ta có: $\int^{-3}_{-6}f(x)dx = -\int^{-6}_{-3}f(x)dx$ Do đó, khẳng định này sai. B. $\int^{-3}_{-6}f(x)dx=\int^{-6}_{-3}f(x)dx$ Theo tính chất của tích phân, ta có: $\int^{-3}_{-6}f(x)dx = -\int^{-6}_{-3}f(x)dx$ Do đó, khẳng định này sai. C. $\int^{-3}_{-6}g(x)dx=\int^{-6}_{-5}g(x)dx+\int^{-3}_{-6}g(x)dx$ Theo tính chất của tích phân, ta có: $\int^{-3}_{-6}g(x)dx = \int^{-5}_{-6}g(x)dx + \int^{-3}_{-5}g(x)dx$ Do đó, khẳng định này sai. D. $\int^{-3}_{-6}f(x)dx=\int^{-3}_{-6}f(t)dt$ Theo tính chất của tích phân, ta có: $\int^{-3}_{-6}f(x)dx = \int^{-3}_{-6}f(t)dt$ Do đó, khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là D. Câu 8. Để tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = g(x) \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), và \( x = 4 \), ta cần tính tích phân của hàm \( g(x) \) từ \( x = 1 \) đến \( x = 4 \). Diện tích S được tính bằng công thức: \[ S = \int_{1}^{4} |g(x)| \, dx \] Lý do là vì diện tích luôn là một giá trị dương, nên ta cần lấy giá trị tuyệt đối của \( g(x) \) để đảm bảo rằng tích phân luôn cho kết quả dương, kể cả khi \( g(x) \) có thể nhận giá trị âm trong khoảng \( [1, 4] \). Do đó, khẳng định đúng là: A. \( S = \int_{1}^{4} |g(x)| \, dx \) Đáp án: A. \( S = \int_{1}^{4} |g(x)| \, dx \) Câu 9. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành, ta cần tính diện tích của hai phần riêng biệt: phần trên trục hoành và phần dưới trục hoành. 1. Phần trên trục hoành: - Diện tích này nằm giữa khoảng từ $x = 0$ đến $x = 3$. - Diện tích này được tính bằng tích phân $\int_{0}^{3} f(x) \, dx$. 2. Phần dưới trục hoành: - Diện tích này nằm giữa khoảng từ $x = -1$ đến $x = 0$. - Diện tích này được tính bằng tích phân $\int_{-1}^{0} f(x) \, dx$, nhưng vì nó nằm dưới trục hoành nên tích phân này sẽ cho kết quả âm. Để tính diện tích, ta lấy giá trị tuyệt đối của tích phân này, tức là $-\int_{-1}^{0} f(x) \, dx$. Do đó, tổng diện tích S sẽ là: \[ S = -\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} f(x) \, dx \] Vậy đáp án đúng là: C. $S = -\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} f(x) \, dx$. Câu 10: Mặt phẳng (R) có phương trình $8x + 9y - 9z + 2 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n} = (8, 9, -9)$. Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xem vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). A. $\overrightarrow{n_1} = (-24, -27, 27)$ Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{n_1} = -3 \cdot (8, 9, -9) = -3 \cdot \overrightarrow{n} \] Do đó, $\overrightarrow{n_1}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). B. $\overrightarrow{n_2} = (9, -9, 2)$ Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{n_2} \neq k \cdot (8, 9, -9) \] với mọi số thực $k$. Do đó, $\overrightarrow{n_2}$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). C. $\overrightarrow{n_3} = (-24, -9, -9)$ Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{n_3} \neq k \cdot (8, 9, -9) \] với mọi số thực $k$. Do đó, $\overrightarrow{n_3}$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). D. $\overrightarrow{n_4} = (8, -9, -9)$ Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{n_4} \neq k \cdot (8, 9, -9) \] với mọi số thực $k$. Do đó, $\overrightarrow{n_4}$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{n_1} = (-24, -27, 27)$ Đáp án: A. $\overrightarrow{n_1} = (-24, -27, 27)$ Câu 11. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(2; -4; -5) \) đến mặt phẳng \( (Q): -7x + y + 5z + 1 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( M(2; -4; -5) \) - Mặt phẳng \( (Q): -7x + y + 5z + 1 = 0 \) Ta có: \[ a = -7, \quad b = 1, \quad c = 5, \quad d = 1 \] \[ x_0 = 2, \quad y_0 = -4, \quad z_0 = -5 \] Thay vào công thức: \[ d = \frac{|-7 \cdot 2 + 1 \cdot (-4) + 5 \cdot (-5) + 1|}{\sqrt{(-7)^2 + 1^2 + 5^2}} \] \[ d = \frac{|-14 - 4 - 25 + 1|}{\sqrt{49 + 1 + 25}} \] \[ d = \frac{|-42|}{\sqrt{75}} \] \[ d = \frac{42}{\sqrt{75}} \] \[ d = \frac{42}{5\sqrt{3}} \] \[ d = \frac{42 \cdot \sqrt{3}}{5 \cdot 3} \] \[ d = \frac{14 \sqrt{3}}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (Q) \) là: \[ \boxed{\frac{14 \sqrt{3}}{5}} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{14 \sqrt{3}}{5}$. Câu 12. Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng $(R)$ và $(\gamma)$, ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc và trùng nhau. 1. Kiểm tra điều kiện vuông góc: - Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$ là $\vec{n}_R = (-8, 5, 9)$. - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\gamma)$ là $\vec{n}_\gamma = (-1, -7, 3)$. - Tích vô hướng của $\vec{n}_R$ và $\vec{n}_\gamma$ là: \[ \vec{n}_R \cdot \vec{n}_\gamma = (-8) \times (-1) + 5 \times (-7) + 9 \times 3 = 8 - 35 + 27 = 0 \] - Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai mặt phẳng vuông góc. 2. Kiểm tra điều kiện song song hoặc trùng nhau: - Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau nếu vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. - Ta kiểm tra tỉ lệ của các thành phần của vectơ pháp tuyến: \[ \frac{-8}{-1} = 8, \quad \frac{5}{-7} = -\frac{5}{7}, \quad \frac{9}{3} = 3 \] - Các tỉ lệ này không bằng nhau, do đó hai vectơ pháp tuyến không cùng phương, suy ra hai mặt phẳng không song song và không trùng nhau. Từ các bước trên, ta kết luận rằng hai mặt phẳng $(R)$ và $(\gamma)$ vuông góc với nhau. Đáp án: B. (R) vuông góc (y).