Trả lời trắc nghiệm

Bài tập 1: Để viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;1;2)$ và song song với đường thẳng $d$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \): Đường thẳng \( d \) có phương trình chính tắc là: \[ d: \frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+5}{3} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) là \( \vec{u} = (2, 1, 3) \). 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta \): Vì đường thẳng \( \Delta \) song song với đường thẳng \( d \), nên vectơ chỉ phương của \( \Delta \) cũng là \( \vec{u} = (2, 1, 3) \). 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng \( \Delta \): Đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( A(1, 1, 2) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (2, 1, 3) \). Phương trình tham số của đường thẳng \( \Delta \) là: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \] 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \( \Delta \): Phương trình chính tắc của đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( A(1, 1, 2) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (2, 1, 3) \) là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3} \] Kết luận: Phương trình tham số của đường thẳng \( \Delta \) là: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \] Phương trình chính tắc của đường thẳng \( \Delta \) là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3} \] Bài tập 2: Để viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;-1;4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):~x+3y-z-1=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng $(P):~x + 3y - z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1, 3, -1)$. 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ chính là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Do đó, vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{d} = (1, 3, -1)$. 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2, -1, 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{d} = (1, 3, -1)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 3t \\ z = 4 - t \end{cases} \] với $t$ là tham số. 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$: Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2, -1, 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{d} = (1, 3, -1)$ là: \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{-1} \] Tóm lại, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 3t \\ z = 4 - t \end{cases} \] với $t$ là tham số. Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{-1} \] Bài tập 3: Để viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(2;3;-1)$ và $B(1;-2;4)$ trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{AB}$. Ta tính $\overrightarrow{AB}$ như sau: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2, -2 - 3, 4 + 1) = (-1, -5, 5) \] Bước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;3;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (-1, -5, 5)$ là: \[ \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - 5t \\ z = -1 + 5t \end{cases} \] với $t$ là tham số. Bước 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;3;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (-1, -5, 5)$ là: \[ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 3}{-5} = \frac{z + 1}{5} \] Kết luận: Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - 5t \\ z = -1 + 5t \end{cases} \] Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 3}{-5} = \frac{z + 1}{5} \] Bài tập 4: a) Ta thấy điểm \( M(1; 3; 2) \) thuộc \(\Delta_1\) và điểm \( N(8; -2; 2) \) thuộc \(\Delta_2\). Vectơ \(\overrightarrow{MN} = (7; -5; 0)\) Vectơ chỉ phương của \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow{u_1} = (2; -1; 3)\) Vectơ chỉ phương của \(\Delta_2\) là \(\overrightarrow{u_2} = (-1; 1; 2)\) Ta có: \[ \begin{vmatrix} 7 & -5 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 7 \cdot (-1) \cdot 2 + (-5) \cdot 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \cdot (-1) - 7 \cdot 3 \cdot 1 - (-5) \cdot 2 \cdot 2 = -14 + 15 + 0 - 0 - 21 + 20 = 0 \] Vậy ba vectơ \(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\) đồng phẳng nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau. b) Mặt phẳng (P) chứa \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cũng chính là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\). Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u_1} \times \overrightarrow{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1) \cdot 2 - 3 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = \mathbf{i}(-2 - 3) - \mathbf{j}(4 + 3) + \mathbf{k}(2 - 1) = -5\mathbf{i} - 7\mathbf{j} + \mathbf{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow{n} = (-5; -7; 1)\). Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(1; 3; 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (-5; -7; 1)\), phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ -5(x - 1) - 7(y - 3) + 1(z - 2) = 0 \] Rút gọn ta được phương trình mặt phẳng (P): \[ -5x + 5 - 7y + 21 + z - 2 = 0 \] \[ -5x - 7y + z + 24 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -5x - 7y + z + 24 = 0 \] Bài tập 5: a) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-1;3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u=(-2;3;4)$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 2t \\ y = 3 + 3t \\ z = 2 + 4t \end{array} \right. \] Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x + 1}{-2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 2}{4} \] b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(2;-1;3)$ và $N(3;0;4)$ là: \[ \overrightarrow{MN} = (3 - 2; 0 - (-1); 4 - 3) = (1; 1; 1) \] Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -1 + t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1} \] Bài tập 6: Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng $(\alpha): 2x + y - z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (2, 1, -1)$. - Mặt phẳng $(\beta): x + y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\beta = (1, 1, 1)$. 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là vectơ pháp tuyến của cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, tức là vectơ pháp tuyến của hai vectơ $\vec{n}_\alpha$ và $\vec{n}_\beta$. Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{d} = \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \vec{i}(1 + 1) - \vec{j}(2 + 1) + \vec{k}(2 - 1) = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k} \] Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{d} = (2, -3, 1)$. 3. Tìm tọa độ một điểm thuộc đường thẳng $\Delta$: Để tìm tọa độ một điểm thuộc đường thẳng $\Delta$, ta chọn giá trị của một trong ba biến $x$, $y$, hoặc $z$ và thay vào phương trình của hai mặt phẳng để tìm giá trị của hai biến còn lại. Chọn $z = 0$, ta có: \[ 2x + y + 3 = 0 \quad \text{(từ phương trình của mặt phẳng } (\alpha)) \] \[ x + y - 1 = 0 \quad \text{(từ phương trình của mặt phẳng } (\beta)) \] Giải hệ phương trình này: \[ \begin{cases} 2x + y = -3 \\ x + y = 1 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (2x + y) - (x + y) = -3 - 1 \] \[ x = -4 \] Thay $x = -4$ vào phương trình $x + y = 1$: \[ -4 + y = 1 \] \[ y = 5 \] Vậy tọa độ một điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ là $A(-4, 5, 0)$. 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$: Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-4, 5, 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{d} = (2, -3, 1)$ là: \[ \frac{x + 4}{2} = \frac{y - 5}{-3} = \frac{z}{1} \] Đáp số: \(\frac{x + 4}{2} = \frac{y - 5}{-3} = \frac{z}{1}\). Bài tập 7: Để xác định phương trình giao tuyến \(d'\) của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(x + y - 5z + 4 = 0\). Vectơ pháp tuyến của \((P)\) là \(\vec{n}_P = (1, 1, -5)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+5}{6}\). Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{u}_d = (2, 1, 6)\). 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\): Mặt phẳng \((Q)\) chứa đường thẳng \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Do đó, vectơ pháp tuyến của \((Q)\) là \(\vec{n}_Q\), và nó phải vuông góc với cả \(\vec{u}_d\) và \(\vec{n}_P\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n}_Q = \vec{u}_d \times \vec{n}_P = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-5) - 6 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot (-5) - 6 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \vec{i}(-5 - 6) - \vec{j}(-10 - 6) + \vec{k}(2 - 1) = -11\vec{i} + 16\vec{j} + \vec{k} \] Vậy \(\vec{n}_Q = (-11, 16, 1)\). 4. Xác định phương trình của mặt phẳng \((Q)\): Mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(M_0(-1, -1, -5)\) (điểm thuộc đường thẳng \(d\)) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_Q = (-11, 16, 1)\). Phương trình của mặt phẳng \((Q)\) là: \[ -11(x + 1) + 16(y + 1) + 1(z + 5) = 0 \] \[ -11x - 11 + 16y + 16 + z + 5 = 0 \] \[ -11x + 16y + z + 10 = 0 \] 5. Xác định phương trình giao tuyến \(d'\) của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\): Giao tuyến \(d'\) là đường thẳng đồng thời nằm trong cả hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\). Vectơ chỉ phương của \(d'\) là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_P\) và \(\vec{n}_Q\): \[ \vec{u}_{d'} = \vec{n}_P \times \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -5 \\ -11 & 16 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-5) \cdot 16) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-5) \cdot (-11)) + \vec{k}(1 \cdot 16 - 1 \cdot (-11)) = \vec{i}(1 + 80) - \vec{j}(1 - 55) + \vec{k}(16 + 11) = 81\vec{i} + 54\vec{j} + 27\vec{k} \] Vậy \(\vec{u}_{d'} = (81, 54, 27)\). Để đơn giản hóa, ta chia cả ba thành phần của vectơ chỉ phương cho 27: \[ \vec{u}_{d'} = (3, 2, 1) \] Ta cần tìm một điểm thuộc giao tuyến \(d'\). Ta thay \(z = 0\) vào phương trình của hai mặt phẳng để tìm \(x\) và \(y\): \[ x + y + 4 = 0 \quad \text{(từ phương trình của \((P)\))} \] \[ -11x + 16y + 10 = 0 \quad \text{(từ phương trình của \((Q)\))} \] Giải hệ phương trình này: \[ x + y = -4 \quad \text{(1)} \] \[ -11x + 16y = -10 \quad \text{(2)} \] Nhân phương trình (1) với 16: \[ 16x + 16y = -64 \quad \text{(3)} \] Cộng phương trình (2) và (3): \[ -11x + 16y + 16x + 16y = -10 - 64 \] \[ 5x = -74 \] \[ x = -\frac{74}{5} \] Thay \(x = -\frac{74}{5}\) vào phương trình (1): \[ -\frac{74}{5} + y = -4 \] \[ y = -4 + \frac{74}{5} \] \[ y = \frac{-20 + 74}{5} \] \[ y = \frac{54}{5} \] Vậy điểm \(M_1\left(-\frac{74}{5}, \frac{54}{5}, 0\right)\) thuộc giao tuyến \(d'\). Phương trình tham số của giao tuyến \(d'\) là: \[ \frac{x + \frac{74}{5}}{3} = \frac{y - \frac{54}{5}}{2} = \frac{z}{1} \] Đáp số: \[ \boxed{\frac{x + \frac{74}{5}}{3} = \frac{y - \frac{54}{5}}{2} = \frac{z}{1}} \] Bài tập 8: Để viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_1 = (2, 1, 5)\). - Đường thẳng \(d_2\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_2 = (1, 1, 3)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung: Vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung \(\vec{n}\) sẽ vuông góc với cả \(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 3 - 5 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 3 - 5 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \vec{i}(-2) - \vec{j}(1) + \vec{k}(1) = (-2, -1, 1) \] 3. Tìm điểm chung trên đường vuông góc chung: Ta chọn điểm \(M_1(1, 2, -2)\) thuộc \(d_1\) và điểm \(M_2(1, 2, 1)\) thuộc \(d_2\). Vectơ \(\overrightarrow{M_1M_2} = (0, 0, 3)\). 4. Kiểm tra điều kiện vuông góc: Để đường thẳng đi qua \(M_1\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{n}\) là đường vuông góc chung, thì \(\overrightarrow{M_1M_2}\) phải vuông góc với \(\vec{n}\): \[ \overrightarrow{M_1M_2} \cdot \vec{n} = (0, 0, 3) \cdot (-2, -1, 1) = 0 \cdot (-2) + 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 3 \neq 0 \] Điều này cho thấy ta cần tìm lại điểm chung khác hoặc kiểm tra lại các phép tính. 5. Viết phương trình đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm \(M_1(1, 2, -2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{n} = (-2, -1, 1)\) có phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t \\ y = 2 - t \\ z = -2 + t \end{array} \right. \] Vậy phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t \\ y = 2 - t \\ z = -2 + t \end{array} \right. \] Bài tập 9: Để viết phương trình tham số của đường thẳng MN, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng này và điểm đi qua của nó. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng MN. Vectơ chỉ phương của đường thẳng MN là: \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (3-3, 4-3, 1,5-1,5) = (0, 1, 0) \] Bước 2: Xác định điểm đi qua của đường thẳng. Ta chọn điểm M(3, 3, 1,5) làm điểm đi qua của đường thẳng. Bước 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng MN. Phương trình tham số của đường thẳng MN có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] Trong đó, (x_0, y_0, z_0) là tọa độ của điểm M và (a, b, c) là tọa độ của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{MN}\). Thay vào ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 0t \\ y = 3 + 1t \\ z = 1,5 + 0t \end{array} \right. \] Simplifying the equations, we get: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = 3 + t \\ z = 1,5 \end{array} \right. \] Vậy phương trình tham số của đường thẳng MN là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = 3 + t \\ z = 1,5 \end{array} \right. \] Bài tập 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng \(a\) và đường thẳng \(b\) trong không gian. Cụ thể, chúng ta sẽ kiểm tra xem hai đường thẳng này có cắt nhau hay không, và nếu có, thì điểm cắt là gì. Bước 1: Xác định phương trình tham số của hai đường thẳng Đường thẳng \(a\) có phương trình tham số: \[ a: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3t \end{array} \right. \] Đường thẳng \(b\) có phương trình tham số: \[ b: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t' \\ y = 2 + 2t' \\ z = 6 \end{array} \right. \] Bước 2: Tìm điểm chung (nếu có) Giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(M(x, y, z)\). Ta có: \[ x = 1 = 1 + 4t' \\ y = 2 = 2 + 2t' \\ z = 3t = 6 \] Từ phương trình \(z = 3t = 6\), ta có: \[ t = 2 \] Thay \(t = 2\) vào phương trình của đường thẳng \(a\): \[ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \cdot 2 = 6 \] Bây giờ, ta thay \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 6\) vào phương trình của đường thẳng \(b\): \[ 1 = 1 + 4t' \\ 2 = 2 + 2t' \\ 6 = 6 \] Từ phương trình \(1 = 1 + 4t'\), ta có: \[ 0 = 4t' \\ t' = 0 \] Từ phương trình \(2 = 2 + 2t'\), ta cũng có: \[ 0 = 2t' \\ t' = 0 \] Như vậy, cả hai phương trình đều thoả mãn khi \(t' = 0\). Kết luận Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại điểm \(M(1, 2, 6)\). Đáp số: Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại điểm \(M(1, 2, 6)\).