Câu hỏi đúng sai

Câu 3. a) Gọi $A$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 phiếu thi, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà thầy giáo đã rút và sinh viên A trả lời được câu hỏi trong phiếu". Gọi $A_{1}$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất ra 1 phiếu mà sinh viên A thuộc". Gọi $A_{2}$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ hộp thứ hai ra 1 phiếu mà sinh viên A thuộc". Gọi $A_{3}$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất ra 1 phiếu mà sinh viên A không thuộc". Gọi $A_{4}$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ hộp thứ hai ra 1 phiếu mà sinh viên A không thuộc". Ta có: $P(A_{1}) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ $P(A_{2}) = \frac{8}{9}$ $P(A_{3}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ $P(A_{4}) = \frac{1}{9}$ $P(A|A_{1}A_{2}) = 1$ $P(A|A_{1}A_{4}) = \frac{1}{2}$ $P(A|A_{3}A_{2}) = \frac{1}{2}$ $P(A|A_{3}A_{4}) = 0$ Vậy xác suất để sinh viên A trả lời được câu hỏi trong phiếu là: $P(A) = P(A_{1})P(A_{2})P(A|A_{1}A_{2}) + P(A_{1})P(A_{4})P(A|A_{1}A_{4}) + P(A_{3})P(A_{2})P(A|A_{3}A_{2}) + P(A_{3})P(A_{4})P(A|A_{3}A_{4}) = \frac{2}{3} \times \frac{8}{9} \times 1 + \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{8}{9} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{9} \times 0 = \frac{16}{27} + \frac{1}{27} + \frac{4}{27} = \frac{21}{27} = \frac{7}{9}$ Đáp số: $\frac{7}{9}$ b) Gọi $B$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên 1 phiếu từ hộp thứ hai và thầy giáo rút được câu không thuộc và sinh viên rút được câu thuộc". Gọi $B_{1}$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất mà sinh viên A thuộc". Gọi $B_{2}$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất mà sinh viên A không thuộc". Ta có: $P(B_{1}) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ $P(B_{2}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ $P(B|B_{1}) = \frac{8}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}$ $P(B|B_{2}) = \frac{9}{10} \times \frac{8}{10} = \frac{72}{100} = \frac{18}{25}$ Vậy xác suất để thầy giáo rút được câu không thuộc và sinh viên rút được câu thuộc là: $P(B) = P(B_{1})P(B|B_{1}) + P(B_{2})P(B|B_{2}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{25} + \frac{1}{3} \times \frac{18}{25} = \frac{4}{75} + \frac{18}{75} = \frac{22}{75}$ Đáp số: $\frac{22}{75}$ c) Gọi $C$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên 1 phiếu từ hộp thứ hai và sinh viên A trả lời được câu hỏi trong phiếu". Gọi $C_{1}$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất mà sinh viên A thuộc". Gọi $C_{2}$ là biến cố "Thầy giáo rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất mà sinh viên A không thuộc". Ta có: $P(C_{1}) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ $P(C_{2}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ $P(C|C_{1}) = \frac{9}{10}$ $P(C|C_{2}) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ Vậy xác suất để sinh viên A trả lời được câu hỏi trong phiếu là: $P(C) = P(C_{1})P(C|C_{1}) + P(C_{2})P(C|C_{2}) = \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{18}{30} + \frac{4}{15} = \frac{26}{30} = \frac{13}{15}$ Đáp số: $\frac{13}{15}$ d) Gọi $D$ là biến cố "Thầy giáo rút 2 phiếu từ hộp 1 bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên 2 phiếu từ hộp thứ hai và sinh viên A trả lời được cả 2 câu trong 2 phiếu". Gọi $D_{1}$ là biến cố "Thầy giáo rút 2 phiếu từ hộp 1 mà sinh viên A đều thuộc". Gọi $D_{2}$ là biến cố "Thầy giáo rút 2 phiếu từ hộp 1 mà sinh viên A thuộc 1 câu và không thuộc 1 câu". Gọi $D_{3}$ là biến cố "Thầy giáo rút 2 phiếu từ hộp 1 mà sinh viên A không thuộc cả 2 câu". Ta có: $P(D_{1}) = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{15}{2}} = \frac{45}{105} = \frac{3}{7}$ $P(D_{2}) = \frac{\binom{10}{1}\binom{5}{1}}{\binom{15}{2}} = \frac{50}{105} = \frac{10}{21}$ $P(D_{3}) = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{15}{2}} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21}$ $P(D|D_{1}) = \frac{\binom{11}{2}}{\binom{11}{2}} = 1$ $P(D|D_{2}) = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{11}{2}} = \frac{45}{55} = \frac{9}{11}$ $P(D|D_{3}) = \frac{\binom{9}{2}}{\binom{11}{2}} = \frac{36}{55}$ Vậy xác suất để sinh viên A trả lời được cả 2 câu trong 2 phiếu là: $P(D) = P(D_{1})P(D|D_{1}) + P(D_{2})P(D|D_{2}) + P(D_{3})P(D|D_{3}) = \frac{3}{7} \times 1 + \frac{10}{21} \times \frac{9}{11} + \frac{2}{21} \times \frac{36}{55} = \frac{3}{7} + \frac{90}{231} + \frac{72}{1155} = \frac{495}{1155} + \frac{450}{1155} + \frac{72}{1155} = \frac{1017}{1155} = \frac{1399}{2695}$ Đáp số: $\frac{1399}{2695}$