giải từ câu 24 đến 32

Câu 24. Để xác định mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A, ta cần tìm phương trình của mặt phẳng đó. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm sẽ vuông góc với bán kính của mặt cầu tại điểm đó. Bước 1: Tìm vectơ IA Vectơ IA từ tâm I đến điểm A: \[ \overrightarrow{IA} = (2 - 3, 1 - 2, 2 + 1) = (-1, -1, 3) \] Bước 2: Xác định phương trình mặt phẳng Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A sẽ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{IA}\). Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó, \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến và \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của điểm A. Thay \(\overrightarrow{IA} = (-1, -1, 3)\) và điểm A \((2, 1, 2)\): \[ -1(x - 2) - 1(y - 1) + 3(z - 2) = 0 \] \[ -x + 2 - y + 1 + 3z - 6 = 0 \] \[ -x - y + 3z - 3 = 0 \] \[ x + y - 3z + 3 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A là: \[ x + y - 3z + 3 = 0 \] Đáp án đúng là: B. \( x + y - 3z + 3 = 0 \) Câu 25. Để tìm phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1, 2, -2)$ và $B(2, 4, 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + 3y + z - 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$: Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình $x + 3y + z - 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n_Q} = (1, 3, 1)$. 2. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$: Điểm $A(1, 2, -2)$ và điểm $B(2, 4, 1)$, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 4 - 2, 1 - (-2)) = (1, 2, 3) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$, do đó vectơ pháp tuyến của $(P)$ sẽ vuông góc với vectơ pháp tuyến của $(Q)$. Ta gọi vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n_P} = (a, b, c)$. Điều kiện vuông góc là: \[ \vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 0 \implies a \cdot 1 + b \cdot 3 + c \cdot 1 = 0 \implies a + 3b + c = 0 \] Mặt khác, vectơ pháp tuyến của $(P)$ cũng phải vuông góc với $\overrightarrow{AB}$: \[ \vec{n_P} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \implies a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 3 = 0 \implies a + 2b + 3c = 0 \] 4. Giải hệ phương trình để tìm $\vec{n_P}$: Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + 3b + c = 0 \\ a + 2b + 3c = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có $a = -3b - c$. Thay vào phương trình thứ hai: \[ -3b - c + 2b + 3c = 0 \implies -b + 2c = 0 \implies b = 2c \] Chọn $c = 1$, ta có $b = 2$ và $a = -3 \cdot 2 - 1 = -7$. Vậy vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n_P} = (-7, 2, 1)$. 5. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1, 2, -2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P} = (-7, 2, 1)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: \[ -7(x - 1) + 2(y - 2) + 1(z + 2) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -7x + 7 + 2y - 4 + z + 2 = 0 \implies -7x + 2y + z + 5 = 0 \implies 7x - 2y - z - 5 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng $(P)$ là: \[ \boxed{7x - 2y - z - 5 = 0} \] Câu 26. Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(D\) được cho bởi phương trình tham số \(\frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-3}\), ta cần nhận biết rằng các hệ số ở mẫu số của phương trình này chính là các thành phần của vectơ chỉ phương. Cụ thể, phương trình tham số của đường thẳng \(D\) có dạng: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-3} \] Từ đây, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng \(D\) sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số ở mẫu số của phương trình trên. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(D\) là: \[ \overrightarrow{u} = (2, 1, -3) \] So sánh với các đáp án đã cho: A. \(\overrightarrow{u_2} = (1, 0, -2)\) B. \(\overrightarrow{u_1} = (2, 1, -3)\) C. \(\overrightarrow{u_3} = (2, 1, 3)\) D. \(\overrightarrow{u_4} = (1, 0, 2)\) Ta thấy rằng vectơ chỉ phương đúng là: \[ \overrightarrow{u_1} = (2, 1, -3) \] Vậy đáp án đúng là: B. \(\overrightarrow{u_1} = (2, 1, -3)\) Câu 27. Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) trong không gian Oxyz, ta dựa vào phương trình tham số của đường thẳng \(d\): \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = -1 + 3t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy rằng mỗi thành phần \(x\), \(y\), và \(z\) đều phụ thuộc vào tham số \(t\). Ta có thể viết lại dưới dạng: \[ x = 2 + t \] \[ y = 1 - 2t \] \[ z = -1 + 3t \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của \(t\) trong các phương trình trên. Do đó, vectơ chỉ phương của \(d\) là: \[ \overrightarrow{u} = (1, -2, 3) \] So sánh với các đáp án đã cho: A. \(\overrightarrow{u}_1 = (2, 1, -1)\) B. \(\overrightarrow{u}_2 = (1, 2, 3)\) C. \(\overrightarrow{u}_3 = (1, -2, 3)\) D. \(\overrightarrow{u}_4 = (2, 1, 1)\) Ta thấy rằng vectơ chỉ phương đúng là: \[ \overrightarrow{u}_3 = (1, -2, 3) \] Vậy đáp án đúng là: C. \(\overrightarrow{u}_3 = (1, -2, 3)\) Câu 28. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) và điểm \(M(1; -2; 1)\), ta cần tìm vectơ \(\overrightarrow{OM}\). Vectơ \(\overrightarrow{OM}\) có tọa độ là: \[ \overrightarrow{OM} = (1 - 0; -2 - 0; 1 - 0) = (1; -2; 1) \] Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) và điểm \(M(1; -2; 1)\) là \((1; -2; 1)\). Vậy đáp án đúng là: D. \(\overrightarrow{u}_4 = (1; -2; 1)\). Câu 29. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( M(2;3;-1) \) và \( N(4;5;3) \), ta cần tính vectơ \( \overrightarrow{MN} \). Vectơ \( \overrightarrow{MN} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{MN} = (N_x - M_x, N_y - M_y, N_z - M_z) \] \[ \overrightarrow{MN} = (4 - 2, 5 - 3, 3 - (-1)) \] \[ \overrightarrow{MN} = (2, 2, 4) \] Bây giờ, ta kiểm tra các lựa chọn đã cho để xem liệu có vectơ nào là bội của \( \overrightarrow{MN} \) hay không. A. \( \overrightarrow{u}_4 = (1;1;1) \) B. \( \overrightarrow{u}_3 = (1;1;2) \) C. \( \overrightarrow{u}_1 = (3;4;1) \) D. \( \overrightarrow{u}_2 = (3;4;2) \) Ta thấy rằng \( \overrightarrow{u}_3 = (1;1;2) \) là bội của \( \overrightarrow{MN} = (2, 2, 4) \): \[ \overrightarrow{u}_3 = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{MN} \] Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( M \) và \( N \) là \( \overrightarrow{u}_3 = (1;1;2) \). Đáp án đúng là: B. \( \overrightarrow{u}_3 = (1;1;2) \). Câu 30. Để tìm vectơ chỉ phương của đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ của hai điểm A và B. - Điểm A có tọa độ $(1; 1; 0)$. - Điểm B có tọa độ $(0; 1; 2)$. Bước 2: Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng cách lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A. - Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 1; 1 - 1; 2 - 0) = (-1; 0; 2) \] Bước 3: So sánh với các đáp án đã cho để xác định vectơ chỉ phương đúng. - Đáp án A: $\overrightarrow{d} = (-1; 1; 2)$ - Đáp án B: $\overrightarrow{a} = (-1; 0; -2)$ - Đáp án C: $\overrightarrow{b} = (-1; 0; 2)$ - Đáp án D: $\overrightarrow{c} = (1; 2; 2)$ Qua so sánh, ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{b} = (-1; 0; 2)$ trùng khớp với tọa độ của $\overrightarrow{AB}$. Vậy, vectơ chỉ phương của đoạn thẳng AB là $\overrightarrow{b} = (-1; 0; 2)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{b} = (-1; 0; 2)$. Câu 31. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \( M_1M_2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm \( M_1 \) và \( M_2 \): - Điểm \( M_1 \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên trục \( Ox \). Do đó, tọa độ của \( M_1 \) là \( (1; 0; 0) \). - Điểm \( M_2 \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên trục \( Oy \). Do đó, tọa độ của \( M_2 \) là \( (0; 2; 0) \). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( M_1M_2 \): - Vectơ chỉ phương của đường thẳng \( M_1M_2 \) là \( \overrightarrow{M_1M_2} \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{M_1M_2} \) được tính bằng cách lấy tọa độ của \( M_2 \) trừ đi tọa độ của \( M_1 \): \[ \overrightarrow{M_1M_2} = (0 - 1; 2 - 0; 0 - 0) = (-1; 2; 0) \] 3. So sánh với các lựa chọn đã cho: - A. \( \overrightarrow{u_4} = (-1; 2; 0) \) - B. \( \overrightarrow{u_1} = (0; 2; 0) \) - C. \( \overrightarrow{u_2} = (1; 2; 0) \) - D. \( \overrightarrow{u_3} = (1; 0; 0) \) Ta thấy rằng vectơ \( \overrightarrow{u_4} = (-1; 2; 0) \) trùng khớp với vectơ chỉ phương của đường thẳng \( M_1M_2 \). Vậy đáp án đúng là: A. \( \overrightarrow{u_4} = (-1; 2; 0) \) Câu 32. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(D\) được cho bởi phương trình tham số: \[ D: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Chúng ta cần xác định các hệ số của tham số \(t\) trong mỗi phương trình. Các hệ số này sẽ tạo thành các thành phần của vectơ chỉ phương. - Từ phương trình \(x = 2 - t\), ta thấy hệ số của \(t\) là \(-1\). - Từ phương trình \(y = 1 + 2t\), ta thấy hệ số của \(t\) là \(2\). - Từ phương trình \(z = 3 + t\), ta thấy hệ số của \(t\) là \(1\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(D\) là: \[ \overrightarrow{u} = (-1, 2, 1) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: A. \(\overrightarrow{u_1} = (-1, 2, 3)\) B. \(\overrightarrow{u_3} = (2, 1, 3)\) C. \(\overrightarrow{u_4} = (-1, 2, 1)\) D. \(\overrightarrow{u_2} = (2, 1, 1)\) Ta thấy rằng vectơ chỉ phương đúng là: \[ \overrightarrow{u_4} = (-1, 2, 1) \] Vậy đáp án đúng là: C. \(\overrightarrow{u_4} = (-1, 2, 1)\)