giúp mình với

Câu 1. a) Ta có $F'(x)=x^3-2024x+2025=f(x).$ Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x).$ b) Ta có $f(x)=(3x^2-2024)'=g'(x).$ Vậy $f(x)$ là một nguyên hàm của $g(x).$ c) Ta có $F'(x)=x^3-2024x+2025=f(x).$ Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x).$ Mặt khác $F(0)=0.$ Vậy $F(x)$ không thoả mãn $F(0)=3.$ d) Ta có $\int^1_0f(x)dx=(\frac14x^4-1012x^2+2025x)|^1_0=\frac{4053}4.$ Vậy d) đúng. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Kiểm tra tính đúng đắn của $F(x) = f'(x)$ Ta có: \[ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \] Tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \left(\frac{2x + 1}{x - 1}\right)' \] Áp dụng quy tắc thương: \[ f'(x) = \frac{(2x + 1)'(x - 1) - (2x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-3}{(x - 1)^2} \] Do đó, $F(x) = f'(x)$ không đúng vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, không phải đạo hàm của $f(x)$. b) Kiểm tra tính đúng đắn của $F(x) = 2x + 3\ln(x - 1) + 2024$ Ta có: \[ F(x) = 2x + 3\ln(x - 1) + 2024 \] Tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = (2x + 3\ln(x - 1) + 2024)' \] \[ F'(x) = 2 + \frac{3}{x - 1} \] \[ F'(x) = \frac{2(x - 1) + 3}{x - 1} \] \[ F'(x) = \frac{2x - 2 + 3}{x - 1} \] \[ F'(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \] Do đó, $F(x) = 2x + 3\ln(x - 1) + 2024$ là một nguyên hàm của $f(x)$. c) Biết $F(2) = 3$, khi đó $F(5) = 9 + 6\ln2$ Ta đã biết: \[ F(x) = 2x + 3\ln(x - 1) + C \] Áp dụng điều kiện $F(2) = 3$: \[ F(2) = 2(2) + 3\ln(2 - 1) + C = 3 \] \[ 4 + 3\ln(1) + C = 3 \] \[ 4 + 0 + C = 3 \] \[ C = -1 \] Do đó: \[ F(x) = 2x + 3\ln(x - 1) - 1 \] Bây giờ, tính $F(5)$: \[ F(5) = 2(5) + 3\ln(5 - 1) - 1 \] \[ F(5) = 10 + 3\ln(4) - 1 \] \[ F(5) = 9 + 3\ln(4) \] \[ F(5) = 9 + 3\ln(2^2) \] \[ F(5) = 9 + 6\ln(2) \] d) Tính $\int^5_2 f(x) dx$ Ta có: \[ \int^5_2 f(x) dx = \int^5_2 \frac{2x + 1}{x - 1} dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm: \[ \int^5_2 \frac{2x + 1}{x - 1} dx = [2x + 3\ln(x - 1)]^5_2 \] \[ = (2(5) + 3\ln(5 - 1)) - (2(2) + 3\ln(2 - 1)) \] \[ = (10 + 3\ln(4)) - (4 + 3\ln(1)) \] \[ = 10 + 3\ln(4) - 4 - 0 \] \[ = 6 + 3\ln(4) \] \[ = 6 + 3\ln(2^2) \] \[ = 6 + 6\ln(2) \] Vậy, $\int^5_2 f(x) dx = 6 + 6\ln(2)$. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 3. a) $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$. - Đúng vì theo định nghĩa, nếu $S'(t)$ là đạo hàm của $S(t)$ thì $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$. b) $S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7$. - Ta kiểm tra xem $S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7$ có phải là nguyên hàm của $S'(t) = 1,2698e^{0,014t}$ hay không. - Tính đạo hàm của $S(t)$: \[ S'(t) = 90,7 \cdot 0,014 \cdot e^{0,014t} = 1,2698e^{0,014t}. \] - Kết quả đúng, vậy $S(t) = 90,7e^{0,014t} + C$, trong đó $C$ là hằng số. Để xác định $C$, ta sử dụng điều kiện ban đầu $S(0) = 90,7$: \[ S(0) = 90,7e^{0,014 \cdot 0} + C = 90,7 + C = 90,7 \Rightarrow C = 0. \] - Vậy $S(t) = 90,7e^{0,014t}$. c) Theo công thức trên, tốc độ tăng trưởng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) là khoảng 1,7 triệu người/năm. - Năm 2034 ứng với $t = 2034 - 2014 = 20$. - Tính $S'(20)$: \[ S'(20) = 1,2698e^{0,014 \cdot 20} = 1,2698e^{0,28} \approx 1,2698 \cdot 1,3231 \approx 1,680 \text{ (triệu người/năm)}. \] - Làm tròn đến hàng phần mười: $1,680 \approx 1,7$ (triệu người/năm). d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) là khoảng 120 triệu người. - Năm 2034 ứng với $t = 20$. - Tính $S(20)$: \[ S(20) = 90,7e^{0,014 \cdot 20} = 90,7e^{0,28} \approx 90,7 \cdot 1,3231 \approx 119,99 \text{ (triệu người)}. \] - Làm tròn đến hàng đơn vị: $119,99 \approx 120$ (triệu người). Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng. Câu 4. a) $\overrightarrow{n_1}$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Đúng vì phương trình của mặt phẳng (P) là $y = 0$, và véctơ pháp tuyến của nó là $(0;1;0)$. b) $\overrightarrow{n_2}$ không là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Sai vì phương trình của mặt phẳng (Q) là $\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$, và véctơ pháp tuyến của nó là $(\sqrt{3}; -1; 0)$. c) $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = -1$. Ta tính tích vô hướng của hai véctơ: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (0;1;0) \cdot (\sqrt{3};-1;0) = 0 \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1 \] Vậy $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = -1$ là đúng. d) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng $30^\circ$. Để tìm góc giữa hai mặt phẳng, ta cần tính góc giữa hai véctơ pháp tuyến của chúng. Ta đã biết: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \] Tính độ dài của các véctơ: \[ |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \] \[ |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \] Thay vào công thức: \[ \cos \theta = \frac{-1}{1 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \] Vậy: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là $120^\circ$, không phải $30^\circ$. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.