Giúp tôi với ạ

Câu 51. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{3x} \), ta áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ \( e^{ax} \). Công thức nguyên hàm của hàm số \( e^{ax} \) là: \[ \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \] Trong trường hợp này, \( a = 3 \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = e^{3x} \) sẽ là: \[ \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C \] Vậy, đáp án đúng là: B. \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) Đáp án: B. \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) Câu 52. Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = e^{2x-1}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định u và tính đạo hàm của u. Gọi $u = 2x - 1$. Khi đó, $\frac{du}{dx} = 2$ hoặc $du = 2dx$. Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. $\int e^{2x-1} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du$ (vì $dx = \frac{1}{2} du$). Bước 3: Tính nguyên hàm theo biến số mới. $\int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C$. Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay $u = 2x - 1$ vào kết quả trên: $\frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x-1} + C$. Vậy nguyên hàm của hàm số $y = e^{2x-1}$ là $\frac{1}{2} e^{2x-1} + C$. Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{2} e^{2x-1} + C$. Câu 53. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). - Nguyên hàm của hằng số 2 là \( 2x \). Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \): \[ \int f(x) \, dx = \int (e^x + 2) \, dx = \int e^x \, dx + \int 2 \, dx = e^x + 2x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: B. \( \int f(x) \, dx = e^x + 2x + C \) Đáp án: B. \( \int f(x) \, dx = e^x + 2x + C \) Câu 54. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + 2x \). Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số. - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). - Nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int f(x) \, dx = \int (e^x + 2x) \, dx = \int e^x \, dx + \int 2x \, dx = e^x + x^2 + C \] Do đó, khẳng định đúng là: A. \( \int f(x) \, dx = e^x + x^2 + C \) Đáp án: A. \( \int f(x) \, dx = e^x + x^2 + C \) Câu 55. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 7^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \). Công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = 7^x \): 1. Xác định \( a = 7 \). 2. Tính \( \ln 7 \). Do đó, nguyên hàm của \( 7^x \) là: \[ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \) Đáp án: A. \( \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \) Câu 56. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = 2^x \), ta sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \): \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( y = 2^x \): \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \) Đáp án: C. \( \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \) Câu 57. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^{-x} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số mũ. Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( f(x) = 3^{-x} \) là một hàm số mũ cơ bản. Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ. Công thức nguyên hàm của hàm số \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong trường hợp này, \( a = 3 \) và \( x \) được thay bằng \( -x \). Do đó, chúng ta có: \[ \int 3^{-x} \, dx = \frac{3^{-x}}{\ln 3} + C \] Bước 3: Kiểm tra lại đáp án. Chúng ta đã áp dụng đúng công thức nguyên hàm của hàm số mũ và đã tính toán chính xác. Vậy, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^{-x} \) là: \[ \frac{3^{-x}}{\ln 3} + C \] Đáp án đúng là: D. $\frac{3^{-x}}{\ln 3} + C$. Câu 58. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^x + 2x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ của mỗi thành phần trong tổng. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 3^x \). Nguyên hàm của \( 3^x \) là: \[ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 2x \). Nguyên hàm của \( 2x \) là: \[ \int 2x \, dx = x^2 + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai nguyên hàm trên lại để tìm nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int (3^x + 2x) \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + x^2 + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \int (3^x + 2x) \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + x^2 + C \] Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{3^x}{\ln 3} + x^2 + C} \]