giải bài toán ạ 5.7. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):~x+3y-z=0,~(Q):~x-y-2z+1=0.$,a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.,b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Question

Aquarius · Accepted Answer

Mặt phẳng (P): x + 3y - z = 0

Mặt phẳng (Q): x - y - 2z + 1 = 0

a)

Vectơ pháp tuyến của (P): nP = (1, 3, -1)

Vectơ pháp tuyến của (Q): nQ = (1, -1, -2)

$\displaystyle \Longrightarrow \ \overrightarrow{nP} \ .\ \overrightarrow{nQ} \ =\ 0$

Do đó, mặt phẳng (P) vuông góc mặt phẳng (Q).

b)

Điểm M thuộc trục Ox, nên tọa độ của M có dạng M(x, 0, 0).

Khoảng cách từ M đến (P):$\displaystyle \ d( M,\ P) \ =\ |x\ +\ 3\ .\ ( 0) \ -\ 0|\ :\ \ \sqrt{( 1²\ +\ 3²\ +\ ( -1) ²)} \ =\ \frac{|x|}{\sqrt{11}}$

Khoảng cách từ M đến (Q): $\displaystyle d( M,\ Q) \ =\ |x\ -\ 0\ -\ 2\ .\ ( 0) \ +\ 1|\ :\ \sqrt{( 1²\ +\ 3²\ +\ ( -1) ²)} \ =\ \frac{|x\ +\ 1|\ }{\sqrt{6}}$

M cách đều (P) và (Q) nên $\displaystyle d( M,\ P) \ =\ d( M,\ Q) :\ \ \frac{|x|}{\sqrt{11}} \ =\ \frac{|x\ +\ 1|\ }{\sqrt{6}}$

$\displaystyle \Longrightarrow \ x\ =\ \frac{-11\pm \sqrt{66}}{5}$

Timi · Answer

a) Ta có $\vec{n}_{(P)}=(1;3;-1)$ và $\vec{n}_{(Q)}=(1;-1;-2).$
Ta có $\vec{n}_{(P)}.\vec{n}_{(Q)}=1	imes 1+3	imes (-1)+(-1)	imes (-2)=0.$
Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
b) Điểm M thuộc trục Ox thì có tọa độ M(a;0;0).
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
$d_{M(P)}=\frac{|a|}{\sqrt{1^2+3^2+(-1)^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{11}}.$
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) là:
$d_{M(Q)}=\frac{|a+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\frac{|a+1|}{\sqrt{6}}.$
Theo đầu bài ta có $d_{M(P)}=d_{M(Q)}$ hay $\frac{|a|}{\sqrt{11}}=\frac{|a+1|}{\sqrt{6}}.$
$\Rightarrow |a|\sqrt{6}=|a+1|\sqrt{11}.$
$\Rightarrow a^2	imes 6=(a+1)^2	imes 11.$
$\Rightarrow 6a^2=11a^2+22a+11.$
$\Rightarrow 5a^2+22a+11=0.$
$\Rightarrow a=-1$ hoặc $a=-\frac{11}{5}.$
Vậy các điểm M cần tìm là M(-1;0;0) và $M&#x27;(-\frac{11}{5};0;0).$