giúp mình với ạ,cần gấp ạ

Câu 15. Để tìm giá trị của \( f(2) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm trên đồ thị: - Trên đồ thị, ta thấy rằng khi \( x = 2 \), giá trị của \( y \) là 3. Do đó, điểm này có tọa độ là \( (2, 3) \). 2. Tìm giá trị của hàm số tại \( x = 2 \): - Vì điểm \( (2, 3) \) nằm trên đồ thị của hàm số \( y = f(x) \), nên giá trị của hàm số tại \( x = 2 \) là 3. Vậy, \( f(2) = 3 \). Đáp số: \( f(2) = 3 \). Câu 16. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -2x^2 + x + 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng của hàm số: Hàm số \( y = -2x^2 + x + 5 \) là một hàm bậc hai có dạng \( y = ax^2 + bx + c \), trong đó \( a = -2 \), \( b = 1 \), và \( c = 5 \). 2. Xác định hướng của parabol: Vì hệ số \( a = -2 < 0 \), nên đồ thị của hàm số là một parabol mở xuống. Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. 3. Tìm tọa độ đỉnh của parabol: Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) được tính bằng công thức: \[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a} \] Thay \( a = -2 \) và \( b = 1 \) vào công thức: \[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{1}{2(-2)} = \frac{1}{4} = 0.25 \] 4. Tính giá trị của hàm số tại đỉnh: Thay \( x = 0.25 \) vào hàm số \( y = -2x^2 + x + 5 \): \[ y(0.25) = -2(0.25)^2 + 0.25 + 5 \] \[ y(0.25) = -2 \times 0.0625 + 0.25 + 5 \] \[ y(0.25) = -0.125 + 0.25 + 5 \] \[ y(0.25) = 5.125 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -2x^2 + x + 5 \) là 5.125, đạt được khi \( x = 0.25 \). Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là 5.13. Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là 5.13, đạt được khi \( x = 0.25 \). Câu 17. Để tính khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AB trong hình bình hành ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm D: Trong hình bình hành, hai vectơ đối diện bằng nhau. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tọa độ của \(\overrightarrow{AB}\) là: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 4 - 1) = (3, 3) \] Tọa độ của \(\overrightarrow{DC}\) là: \[ \overrightarrow{DC} = (x_D - 3, y_D + 2) \] Do \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), ta có: \[ (3, 3) = (x_D - 3, y_D + 2) \] Từ đây, ta suy ra: \[ x_D - 3 = 3 \Rightarrow x_D = 6 \] \[ y_D + 2 = 3 \Rightarrow y_D = 1 \] Vậy tọa độ của điểm D là \(D(6, 1)\). 2. Viết phương trình đường thẳng AB: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(-1, 1)\) và \(B(2, 4)\) có dạng: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Trong đó, \(m\) là hệ số góc của đường thẳng, được tính bằng: \[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 1}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1 \] Vậy phương trình đường thẳng AB là: \[ y - 1 = 1(x + 1) \] \[ y = x + 2 \] 3. Tính khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AB: Khoảng cách \(d\) từ điểm \(D(x_0, y_0)\) đến đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Đường thẳng AB có phương trình \(x - y + 2 = 0\), do đó \(A = 1\), \(B = -1\), và \(C = 2\). Thay tọa độ của điểm \(D(6, 1)\) vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 6 + (-1) \cdot 1 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 1 + 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|7|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4.95 \] Vậy khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AB là khoảng 4.95 (đơn vị). Câu 18. Để tính bán kính \( R \) của đường tròn \((C):~2x^2 + 2y^2 - 8x + 4y + 8 = 0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả hai vế của phương trình cho 2 để đơn giản hóa phương trình: \[ x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0 \] Bước 2: Đưa phương trình về dạng chuẩn của đường tròn bằng cách hoàn thành bình phương: \[ x^2 - 4x + y^2 + 2y + 4 = 0 \] Bước 3: Hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 4 + 1 - 4 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1 \] Bước 4: So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), ta nhận thấy rằng tâm của đường tròn là \((2, -1)\) và bán kính \( R \) là 1. Vậy bán kính \( R \) của đường tròn là: \[ R = 1 \] Câu 19 Để vẽ parabol \( y = 3x^2 - 10x + 7 \) và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định đỉnh của parabol Phương trình parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có đỉnh tại điểm \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). Trong trường hợp này: - \( a = 3 \) - \( b = -10 \) - \( c = 7 \) Tọa độ đỉnh: \[ x = -\frac{-10}{2 \times 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] Thay \( x = \frac{5}{3} \) vào phương trình để tìm \( y \): \[ y = 3 \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 10 \left(\frac{5}{3}\right) + 7 \] \[ y = 3 \left(\frac{25}{9}\right) - \frac{50}{3} + 7 \] \[ y = \frac{75}{9} - \frac{150}{9} + \frac{63}{9} \] \[ y = \frac{75 - 150 + 63}{9} = \frac{-12}{9} = -\frac{4}{3} \] Vậy đỉnh của parabol là \( \left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3} \right) \). Bước 2: Xác định hướng mở của parabol Vì \( a = 3 > 0 \), parabol mở ra phía trên. Bước 3: Tìm giao điểm với trục hoành (nếu có) Giải phương trình \( 3x^2 - 10x + 7 = 0 \): Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 84}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm 4}{6} \] Có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{10 + 4}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \] \[ x_2 = \frac{10 - 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] Vậy giao điểm với trục hoành là \( \left( \frac{7}{3}, 0 \right) \) và \( (1, 0) \). Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Parabol \( y = 3x^2 - 10x + 7 \) mở ra phía trên, nên nó nghịch biến từ \( -\infty \) đến đỉnh và đồng biến từ đỉnh đến \( +\infty \). Do đó: - Khoảng nghịch biến: \( (-\infty, \frac{5}{3}) \) - Khoảng đồng biến: \( (\frac{5}{3}, +\infty) \) Kết luận - Đỉnh của parabol: \( \left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3} \right) \) - Giao điểm với trục hoành: \( \left( \frac{7}{3}, 0 \right) \) và \( (1, 0) \) - Khoảng nghịch biến: \( (-\infty, \frac{5}{3}) \) - Khoảng đồng biến: \( (\frac{5}{3}, +\infty) \) Câu 20 Để viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB: - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác. - Ta tính trung điểm của OA, OB và AB: - Trung điểm của OA là M1 $\left(\frac{8+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right)$ = (4; 0) - Trung điểm của OB là M2 $\left(\frac{0+0}{2}; \frac{6+0}{2}\right)$ = (0; 3) - Trung điểm của AB là M3 $\left(\frac{8+0}{2}; \frac{0+6}{2}\right)$ = (4; 3) - Đường trung trực của OA đi qua M1 và vuông góc với OA, có phương trình y = 0. - Đường trung trực của OB đi qua M2 và vuông góc với OB, có phương trình x = 0. - Đường trung trực của AB đi qua M3 và vuông góc với AB. 2. Xác định phương trình đường trung trực của AB: - Vector AB = (0 - 8; 6 - 0) = (-8; 6). - Vector pháp tuyến của AB là (6; 8). - Phương trình đường trung trực của AB đi qua M3 (4; 3) là: 6(x - 4) + 8(y - 3) = 0 6x - 24 + 8y - 24 = 0 6x + 8y - 48 = 0 3x + 4y - 24 = 0 3. Tìm giao điểm của các đường trung trực: - Giao điểm của y = 0 và x = 0 là O(0; 0). - Giao điểm của y = 0 và 3x + 4y - 24 = 0: Thay y = 0 vào phương trình 3x + 4y - 24 = 0: 3x - 24 = 0 3x = 24 x = 8 Vậy giao điểm là (8; 0). - Giao điểm của x = 0 và 3x + 4y - 24 = 0: Thay x = 0 vào phương trình 3x + 4y - 24 = 0: 4y - 24 = 0 4y = 24 y = 6 Vậy giao điểm là (0; 6). 4. Kết luận: - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là giao điểm của các đường trung trực, tức là điểm (4; 3). - Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm đến một đỉnh của tam giác, ví dụ từ (4; 3) đến (0; 0): Bán kính R = $\sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. 5. Viết phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn có tâm (4; 3) và bán kính 5 là: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$. Đáp số: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$. Câu 21 Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > 0$ và $b > 0$. Ta sẽ thay tọa độ của hai điểm M và N vào phương trình này để tìm giá trị của $a^2$ và $b^2$. 1. Thay tọa độ của điểm $M(2; -\sqrt{2})$ vào phương trình: \[ \frac{2^2}{a^2} + \frac{(-\sqrt{2})^2}{b^2} = 1 \implies \frac{4}{a^2} + \frac{2}{b^2} = 1 \quad \text{(1)} \] 2. Thay tọa độ của điểm $N(-\sqrt{6}; 1)$ vào phương trình: \[ \frac{(-\sqrt{6})^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1 \implies \frac{6}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1 \quad \text{(2)} \] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{4}{a^2} + \frac{2}{b^2} = 1 \\ \frac{6}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1 \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm $a^2$ và $b^2$. Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 2: \[ \frac{8}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 2 \quad \text{(3)} \] Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 4: \[ \frac{24}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 4 \quad \text{(4)} \] Trừ phương trình (3) từ phương trình (4): \[ \left(\frac{24}{a^2} + \frac{4}{b^2}\right) - \left(\frac{8}{a^2} + \frac{4}{b^2}\right) = 4 - 2 \] \[ \frac{24}{a^2} - \frac{8}{a^2} = 2 \] \[ \frac{16}{a^2} = 2 \] \[ a^2 = \frac{16}{2} = 8 \] Thay $a^2 = 8$ vào phương trình (2): \[ \frac{6}{8} + \frac{1}{b^2} = 1 \] \[ \frac{3}{4} + \frac{1}{b^2} = 1 \] \[ \frac{1}{b^2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \] \[ b^2 = 4 \] Vậy phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Đáp số: $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$. Câu 22 Để tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1: x + 3y + 2 = 0$ và $\Delta_2: 3x - y + 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hệ số góc của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $\Delta_1: x + 3y + 2 = 0$ có thể viết lại dưới dạng $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$. Vậy hệ số góc của $\Delta_1$ là $k_1 = -\frac{1}{3}$. - Đường thẳng $\Delta_2: 3x - y + 1 = 0$ có thể viết lại dưới dạng $y = 3x + 1$. Vậy hệ số góc của $\Delta_2$ là $k_2 = 3$. 2. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc $k_1$ và $k_2$ được tính bằng công thức: \[ \tan \theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| \] Thay $k_1 = -\frac{1}{3}$ và $k_2 = 3$ vào công thức: \[ \tan \theta = \left| \frac{3 - (-\frac{1}{3})}{1 + (-\frac{1}{3}) \cdot 3} \right| = \left| \frac{3 + \frac{1}{3}}{1 - 1} \right| = \left| \frac{\frac{9}{3} + \frac{1}{3}}{0} \right| = \left| \frac{\frac{10}{3}}{0} \right| \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: Ta thấy rằng mẫu số trong công thức là 0, tức là $1 + k_1 k_2 = 0$. Điều này xảy ra khi $k_1 k_2 = -1$, nghĩa là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Do đó, góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $90^\circ$. Đáp số: Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $90^\circ$.