Trong không gian Oxyz, (P) là mặt phẳng qua M(1;2;3) và song song với (Q):x-2y+2z=0. Cosin giữa mặt (P) và (Oxz) bằng ?

Question

Chúa tể xui xẻo · Accepted Answer

$V_i(P) / /(Q)$

$\rightarrow \overrightarrow{n_1}=(1,-2,2)$ là vector pháp tuyến của $(P)$
Ta có: $(O x z) \perp O y$
$\rightarrow \overrightarrow{n_2}=(0,1,0)$ là vector pháp tuyến của ( $O x z$ )

$\rightarrow \cos (P) \widehat{,(O x} z)=\frac{|1 \cdot 0+(-2) \cdot 1+2 \cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} \cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{2}{3}$

Timi · Answer

Để tìm cosin giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxz), ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q):
   Mặt phẳng (Q) có phương trình: $ x - 2y + 2z = 0 $
   Vectơ pháp tuyến của (Q) là $ \vec{n}_Q = (1, -2, 2) $.

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
   Vì (P) song song với (Q), nên vectơ pháp tuyến của (P) cũng là $ \vec{n}_P = (1, -2, 2) $.

3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz):
   Mặt phẳng (Oxz) có phương trình: $ y = 0 $
   Vectơ pháp tuyến của (Oxz) là $ \vec{n}_{Oxz} = (0, 1, 0) $.

4. Tính cosin góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
   Gọi góc giữa $ \vec{n}_P $ và $ \vec{n}_{Oxz} $ là $ \theta $. Ta có:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{n}_P \cdot \vec{n}_{Oxz}}{|\vec{n}_P| |\vec{n}_{Oxz}|}
   $$
   Tính tích vô hướng:
   $$
   \vec{n}_P \cdot \vec{n}_{Oxz} = (1, -2, 2) \cdot (0, 1, 0) = 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -2
   $$
   Tính độ dài của các vectơ:
   $$
   |\vec{n}_P| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$
   $$
   |\vec{n}_{Oxz}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1
   $$
   Vậy:
   $$
   \cos \theta = \frac{-2}{3 \cdot 1} = -\frac{2}{3}
   $$

5. Kết luận:
   Cosin giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxz) là $ -\frac{2}{3} $.

Đáp số: $ -\frac{2}{3} $