Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh tính tại thời điểm $t$ (giờ) trong một ngày bởi công thức $\mathrm{h}=6 \cos \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi}{12}\right) \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{5 \pi}{12}\right)+12$.
a) Mực nước cao nhất của kênh trong ngày có thể đạt tới bao nhiêu?
b) Con kênh có mực nước cao nhất lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức h $(t)=0,8 \cos 0,5 t+4$

Question

✿K☥O☥D✿ · Accepted Answer

a)

Ta có :

$$
\begin{aligned}
& h=6 \cos \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi}{12} ight) \cdot \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{5 \pi}{12} ight)+12 \
& =6 \cdot \frac{1}{2} \cdot\left[\cos \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi t}{12}+\frac{5 \pi}{12} ight) ight. \
& +\cos \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi}{12}-\left(\frac{\pi t}{12}+\frac{5 \pi}{12} ight) ight]+12 \
& =3 \cdot\left[\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3} ight)+\cos \left(-\frac{\pi}{2} ight) ight]+12 \
& =3 \cdot \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3} ight)+12
\end{aligned}
$$

$h$ là đồ thị hình sóng nên $\cos x$ đạt GTLN sẽ là thời điếm mực nước cao nhất của kênh trong ngày
Ta có :

$$
\begin{aligned}
& -1 \leq \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3} ight) \leq 1 \
& \Leftrightarrow 9 \leq \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3} ight) \leq 15 \
& ext { Vậy } h=15 \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3} ight)=1 \
& \Leftrightarrow \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}=k 2 \pi \
& \Leftrightarrow t=\left(k 2 \pi-\frac{\pi}{3} ight): \frac{\pi}{6}=12 k-2(k \in \mathbb{Z})
\end{aligned}
$$

b) Ta có: $-1 \leq \cos (0,5 t) \leq 1$

$\Leftrightarrow 3,2 \leq 0,8 \cos (0,5 t)+4 \leq 4,8$
Vậy mực nước cao nhất lần đầu trong ngày là $4,8 m \Leftrightarrow \cos (0,5 t)=1$

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 0,5 \cdot t=k 2 \pi \
& \Leftrightarrow t=k 4 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})
\end{aligned}
$$

Timi · Answer

a) Ta có:
$$
\begin{array}{l}
h=6 \cos \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi}{12}\right) \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{5 \pi}{12}\right)+12 \
=3\left[\cos \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi t}{12}+\frac{5 \pi}{12}\right)+\cos \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi}{12}-\left(\frac{\pi t}{12}+\frac{5 \pi}{12}\right)\right)\right]+12 \
=3\left[\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]+12 \
=3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+12
\end{array}
$$
Vì $-1 \leqslant \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right) \leqslant 1$ nên $9 \leqslant 3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+12 \leqslant 15$
Do đó, mực nước cao nhất của kênh trong ngày là 15 m, đạt được khi $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=1$
b) Ta có:
$$
\begin{array}{l}
h(t)=0,8 \cos 0,5 t+4 \
=0,8 \cos \left(\frac{\pi t}{6} \times \frac{3}{\pi}\right)+4 \
=0,8 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right)+4 \
=0,8\left[\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right) \cos \frac{\pi}{3}+\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right) \sin \frac{\pi}{3}\right]+4 \
=0,8\left[\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right) \times \frac{1}{2}+\sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right) \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right]+4 \
=\frac{0,8}{2} \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{0,8 \sqrt{3}}{2} \sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+4 \
=0,4 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+0,4 \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+4
\end{array}
$$
Ta thấy $0,4<3$ và $0,4 \sqrt{3}<3$. Do đó, $h(t)$ luôn nhỏ hơn $h$. Vì vậy, con kênh có mực nước cao nhất lần đầu tiên trong ngày là 15 m.

Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh tính tại thời điểm $t$ (giờ) trong một ngày bởi công thức...