Vhjnnjnvghh bhjijhh

Câu 27. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 4x^3 - \frac{1}{x^2} + 3x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử: \[ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \] \[ \int -\frac{1}{x^2} \, dx = -\int x^{-2} \, dx = -\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} \] \[ \int 3x \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2} \] 2. Kết hợp các nguyên hàm trên để tìm nguyên hàm tổng: \[ F(x) = x^4 + \frac{1}{x} + \frac{3x^2}{2} + C \] 3. Áp dụng điều kiện \( 5F(1) + F(2) = 43 \): \[ F(1) = 1^4 + \frac{1}{1} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + C = 1 + 1 + \frac{3}{2} + C = \frac{7}{2} + C \] \[ F(2) = 2^4 + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + C = 16 + \frac{1}{2} + 6 + C = 22 + \frac{1}{2} + C = \frac{45}{2} + C \] 4. Thay vào điều kiện: \[ 5 \left(\frac{7}{2} + C\right) + \left(\frac{45}{2} + C\right) = 43 \] \[ \frac{35}{2} + 5C + \frac{45}{2} + C = 43 \] \[ \frac{80}{2} + 6C = 43 \] \[ 40 + 6C = 43 \] \[ 6C = 3 \] \[ C = \frac{1}{2} \] 5. Thay \( C = \frac{1}{2} \) vào \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{45}{2} + \frac{1}{2} = \frac{46}{2} = 23 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~F(2)=23.} \] Câu 28. Để tìm họ các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích hàm số: Ta thấy rằng phân thức \(\frac{2x + 3}{x - 1}\) có thể được phân tích thành dạng tổng của một đa thức và một phân thức đơn giản hơn. Cụ thể: \[ \frac{2x + 3}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 5}{x - 1} = 2 + \frac{5}{x - 1} \] 2. Tìm nguyên hàm từng phần: Bây giờ, ta sẽ tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ: \[ \int \left( 2 + \frac{5}{x - 1} \right) dx = \int 2 \, dx + \int \frac{5}{x - 1} \, dx \] - Nguyên hàm của \(2\) là: \[ \int 2 \, dx = 2x + C_1 \] - Nguyên hàm của \(\frac{5}{x - 1}\) là: \[ \int \frac{5}{x - 1} \, dx = 5 \int \frac{1}{x - 1} \, dx = 5 \ln |x - 1| + C_2 \] 3. Ghép lại kết quả: Kết hợp hai nguyên hàm trên, ta có: \[ \int \left( 2 + \frac{5}{x - 1} \right) dx = 2x + 5 \ln |x - 1| + C \] Trong đó, \(C = C_1 + C_2\) là hằng số tích phân. Vậy, họ các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \) là: \[ 2x + 5 \ln |x - 1| + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~2x + 5 \ln |x - 1| + C \] Câu 29. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (2x - 3)^2 \). 2. Xác định hằng số trong nguyên hàm dựa trên điều kiện \( F(0) = \frac{1}{3} \). 3. Tính giá trị của \( F(1) \) và \( F(2) \). 4. Tính biểu thức \( 3F(1) - 2F(2) \). 5. Tính giá trị của biểu thức \( \log_2[3F(1) - 2F(2)] \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = (2x - 3)^2 \). Ta có: \[ f(x) = (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 \] Nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \int (4x^2 - 12x + 9) \, dx = \frac{4x^3}{3} - 6x^2 + 9x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(0) = \frac{1}{3} \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = \frac{4(0)^3}{3} - 6(0)^2 + 9(0) + C = C \] \[ C = \frac{1}{3} \] Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = \frac{4x^3}{3} - 6x^2 + 9x + \frac{1}{3} \] Bước 3: Tính giá trị của \( F(1) \) và \( F(2) \). Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = \frac{4(1)^3}{3} - 6(1)^2 + 9(1) + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} - 6 + 9 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} + 3 = 4 \] Thay \( x = 2 \) vào \( F(x) \): \[ F(2) = \frac{4(2)^3}{3} - 6(2)^2 + 9(2) + \frac{1}{3} = \frac{32}{3} - 24 + 18 + \frac{1}{3} = \frac{32}{3} + \frac{1}{3} - 6 = \frac{33}{3} - 6 = 11 - 6 = 5 \] Bước 4: Tính biểu thức \( 3F(1) - 2F(2) \). \[ 3F(1) - 2F(2) = 3(4) - 2(5) = 12 - 10 = 2 \] Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \( \log_2[3F(1) - 2F(2)] \). \[ \log_2[3F(1) - 2F(2)] = \log_2(2) = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( \log_2[3F(1) - 2F(2)] \) là 1. Đáp án đúng là: C. 1. Câu 30. Để tìm một nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2x + e^x \) thỏa mãn \( F(0) = 2019 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): - Nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \). - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). Vậy, một nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^2 + e^x + C \] trong đó \( C \) là hằng số. 2. Xác định hằng số \( C \): - Ta biết rằng \( F(0) = 2019 \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = 0^2 + e^0 + C = 1 + C \] - Vì \( F(0) = 2019 \), nên ta có: \[ 1 + C = 2019 \implies C = 2018 \] 3. Viết phương án cuối cùng: - Thay \( C = 2018 \) vào \( F(x) \): \[ F(x) = x^2 + e^x + 2018 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~F(x) = x^2 + e^x + 2018} \] Câu 31. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 3\cos x - 5\sin x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong \( f(x) \): - Nguyên hàm của \( 3\cos x \) là \( 3\sin x \). - Nguyên hàm của \( -5\sin x \) là \( 5\cos x \). - Nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). 2. Viết tổng nguyên hàm: \[ F(x) = 3\sin x + 5\cos x + x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. 3. Áp dụng điều kiện \( F(\pi) = \pi \) để xác định \( C \): \[ F(\pi) = 3\sin \pi + 5\cos \pi + \pi + C \] Biết rằng \( \sin \pi = 0 \) và \( \cos \pi = -1 \), ta thay vào: \[ F(\pi) = 3(0) + 5(-1) + \pi + C = -5 + \pi + C \] Theo đề bài, \( F(\pi) = \pi \), nên ta có: \[ -5 + \pi + C = \pi \] Từ đây suy ra: \[ C = 5 \] 4. Viết lại nguyên hàm cuối cùng: \[ F(x) = 3\sin x + 5\cos x + x + 5 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~F(x) = 3\sin x + 5\cos x + x + 5 \] Câu 32. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) \): - Đầu tiên, ta viết lại hàm số \( f(x) \) dưới dạng tổng của các phân thức đơn giản hơn: \[ f(x) = \frac{2x^4 + 3}{x^2} = \frac{2x^4}{x^2} + \frac{3}{x^2} = 2x^2 + \frac{3}{x^2} \] - Bây giờ, ta tính nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( 2x^2 + \frac{3}{x^2} \right) \, dx \] 2. Tính nguyên hàm từng thành phần: - Nguyên hàm của \( 2x^2 \): \[ \int 2x^2 \, dx = 2 \int x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3} \] - Nguyên hàm của \( \frac{3}{x^2} \): \[ \int \frac{3}{x^2} \, dx = 3 \int x^{-2} \, dx = 3 \cdot \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) = -\frac{3}{x} \] 3. Ghép các kết quả lại: - Kết hợp các nguyên hàm đã tính: \[ \int f(x) \, dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{3}{x} + C \] 4. Kiểm tra đáp án: - So sánh với các phương án đã cho: \[ A.~\int f(x)dx=2x^3-\frac3x+C. \] \[ B.~\int f(x)dx=\frac{2x^3}3+\frac3{2x}+C. \] \[ C.~\int f(x)dx=\frac{2x^3}3+\frac3x+C. \] \[ D.~\int f(x)dx=\frac{2x^3}3-\frac3x+C. \] - Đáp án đúng là: \[ D.~\int f(x)dx=\frac{2x^3}3-\frac3x+C. \] Đáp án: D.~\(\int f(x)dx=\frac{2x^3}3-\frac3x+C.\)