Giai e voi

Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết dựa vào thông tin từ đồ thị và điều kiện đã cho. Mệnh đề a) Hàm số $y = a^v$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số $y = a^v$ tăng dần khi $v$ tăng. Điều này cho thấy hàm số $y = a^v$ là hàm đồng biến. - Do đó, mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) $0 < b < 1$. - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số $y = b^u$ giảm dần khi $u$ tăng. Điều này cho thấy $b$ phải nhỏ hơn 1 và lớn hơn 0 để hàm số giảm. - Do đó, mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) $a < b$. - Ta biết rằng $y = a^v$ là hàm đồng biến và $y = b^u$ là hàm nghịch biến. - Tuy nhiên, không có thông tin trực tiếp nào cho thấy mối liên hệ về kích thước giữa $a$ và $b$ từ đồ thị. - Do đó, mệnh đề c) chưa chắc chắn và cần thêm thông tin để xác định. Mệnh đề d) $a = b^3$. - Ta biết rằng đường thẳng $y = 4$ cắt đồ thị $y = a^v$ tại điểm B và đồ thị $y = b^u$ tại điểm C. - Theo điều kiện $AC = 3AB$, ta có thể suy ra mối liên hệ giữa $a$ và $b$. - Gọi tọa độ của điểm B là $(v_1, 4)$ và điểm C là $(u_1, 4)$. Ta có: \[ a^{v_1} = 4 \quad \text{và} \quad b^{u_1} = 4 \] - Từ đây, ta có: \[ v_1 = \log_a(4) \quad \text{và} \quad u_1 = \log_b(4) \] - Vì $AC = 3AB$, ta có: \[ u_1 - 0 = 3(v_1 - 0) \] \[ \log_b(4) = 3 \log_a(4) \] - Áp dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_b(4) = \log_a(4^3) \] \[ \log_b(4) = \log_a(64) \] - Điều này cho thấy: \[ b = a^{\frac{1}{3}} \quad \text{hoặc} \quad a = b^3 \] - Do đó, mệnh đề d) là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) chưa chắc chắn. - Mệnh đề d) là đúng. Vậy các mệnh đề đúng là a), b) và d). Câu 2: Phương trình $(\frac32)^{-3}=(\frac23)^{-3}$ có thể viết lại dưới dạng: \[ (\frac{3}{2})^{-3} = (\frac{2}{3})^{-3} \] Biến đổi phương trình này: \[ (\frac{3}{2})^{-3} = (\frac{3}{2})^{3} \] Do đó, ta có: \[ -3 = 3 \] Điều này là vô lý, do đó phương trình ban đầu không có nghiệm thực. Tuy nhiên, giả sử phương trình có nghiệm là \( x = a \), chúng ta sẽ kiểm tra các lựa chọn đã cho. a) \( a > 0 \): Không thể xác định vì phương trình không có nghiệm thực. b) Số \( a, 2, 3 \) tạo thành cấp số cộng với công sai bằng \( d = 1 \): Cấp số cộng có dạng \( a, a+d, a+2d \). Nếu \( d = 1 \), thì \( a, 2, 3 \) phải là \( a, a+1, a+2 \). Điều này không đúng vì \( a \) không tồn tại. c) \( \lim_{x \to a}(x^2 + 2x + 5) = 7 \): Giả sử \( x = a \), ta có: \[ \lim_{x \to a}(x^2 + 2x + 5) = a^2 + 2a + 5 \] Để \( a^2 + 2a + 5 = 7 \), ta có: \[ a^2 + 2a + 5 = 7 \] \[ a^2 + 2a - 2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} \] Vậy \( a = -1 + \sqrt{3} \) hoặc \( a = -1 - \sqrt{3} \). d) Phương trình \( \log_2(3x^2 + ax + 7) = 3 \) có 2 nghiệm thuộc khoảng \( (-2, 0) \): \[ \log_2(3x^2 + ax + 7) = 3 \] \[ 3x^2 + ax + 7 = 2^3 \] \[ 3x^2 + ax + 7 = 8 \] \[ 3x^2 + ax - 1 = 0 \] Để phương trình này có hai nghiệm trong khoảng \( (-2, 0) \), ta cần kiểm tra tính chất của phương trình bậc hai. Ta có: \[ f(x) = 3x^2 + ax - 1 \] Để phương trình có hai nghiệm trong khoảng \( (-2, 0) \), ta cần: \[ f(-2) > 0 \] \[ f(0) < 0 \] \[ f'(x) = 6x + a \] Kiểm tra: \[ f(-2) = 3(-2)^2 + a(-2) - 1 = 12 - 2a - 1 = 11 - 2a > 0 \] \[ 11 - 2a > 0 \] \[ a < \frac{11}{2} \] \[ f(0) = -1 < 0 \] Vậy phương trình có hai nghiệm trong khoảng \( (-2, 0) \) nếu \( a < \frac{11}{2} \). Kết luận: Đáp án đúng là d) Phương trình \( \log_2(3x^2 + ax + 7) = 3 \) có 2 nghiệm thuộc khoảng \( (-2, 0) \). Câu 3: Trước tiên, ta cần xác định các thông tin đã cho và các tính chất của hình chóp S.ABCD. - Đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. - $\angle Q_{BC} = 60^\circ$, suy ra $\angle BAC = 60^\circ$ (vì góc nội tiếp cùng chắn cung AC). - Diện tích đáy $S_{ABCD} = a\sqrt{3}$. - $SA \perp (ABCD)$, tức là SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: a) $BD \perp (SDC)$: - Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp BD$. - Trong hình thoi ABCD, $BD \perp AC$. Do đó, $BD \perp SC$ (vì SC nằm trong mặt phẳng (SDC) và cắt AC tại C). - Kết hợp hai điều trên, ta có $BD \perp (SDC)$. b) Góc giữa đường thẳng SC và (ABCD) bằng $45^\circ$: - Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABCD). Vì $SA \perp (ABCD)$, ta có $SH \perp (ABCD)$. - Ta cần tính góc giữa SC và (ABCD), tức là góc $\angle SCH$. - Trong tam giác vuông SHC, ta có $\tan(\angle SCH) = \frac{SH}{HC}$. - Vì $SA \perp (ABCD)$, ta có $SH = SA$. - Ta cần tính HC. Vì ABCD là hình thoi, ta có $AC = 2a\sqrt{3}$ (từ diện tích đáy $S_{ABCD} = a\sqrt{3}$ và công thức diện tích hình thoi). - Trong tam giác vuông SAC, ta có $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{SA^2 + (2a\sqrt{3})^2}$. - Ta thấy rằng $SA = a$ (vì diện tích đáy là $a\sqrt{3}$ và cạnh đáy là $2a$). - Vậy $SC = \sqrt{a^2 + (2a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 12a^2} = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13}$. - Ta có $\tan(\angle SCH) = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\angle SCH = 30^\circ$. - Vậy phát biểu này sai. c) Tam giác SBD vuông tại S: - Vì $SA \perp (ABCD)$, ta có $SA \perp BD$. - Trong tam giác SBD, ta có $SA \perp BD$, suy ra tam giác SBD vuông tại S. d) Góc giữa SA và mặt phẳng (SBD) bằng $30^\circ$: - Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD. Vì $SA \perp (ABCD)$, ta có $SA \perp BD$. - Ta cần tính góc giữa SA và (SBD), tức là góc $\angle SAH$. - Trong tam giác vuông SAH, ta có $\sin(\angle SAH) = \frac{AH}{SA}$. - Vì $SA \perp (ABCD)$, ta có $AH = \frac{AC}{2} = a\sqrt{3}$. - Ta có $\sin(\angle SAH) = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$, suy ra $\angle SAH = 60^\circ$. - Vậy phát biểu này sai. Kết luận: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai. Câu 1: Để tính mức cường độ âm \( L(I) \) của âm thanh có cường độ \( I = 10^4 \, W/m^2 \), ta sử dụng công thức định nghĩa mức cường độ âm: \[ L(I) = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right) \] Trong đó: - \( I \) là cường độ âm thanh cần tính. - \( I_0 = 10^{-12} \, W/m^2 \) là ngưỡng nghe của tai người. Bước 1: Thay giá trị của \( I \) và \( I_0 \) vào công thức: \[ L(I) = 10 \log \left( \frac{10^4}{10^{-12}} \right) \] Bước 2: Tính toán biểu thức bên trong dấu logarit: \[ \frac{10^4}{10^{-12}} = 10^{4 - (-12)} = 10^{4 + 12} = 10^{16} \] Bước 3: Thay kết quả này vào công thức: \[ L(I) = 10 \log (10^{16}) \] Bước 4: Áp dụng tính chất của logarit \( \log(a^b) = b \log(a) \): \[ \log (10^{16}) = 16 \log (10) \] Vì \( \log (10) = 1 \), nên: \[ \log (10^{16}) = 16 \times 1 = 16 \] Bước 5: Thay kết quả này vào công thức cuối cùng: \[ L(I) = 10 \times 16 = 160 \] Vậy mức cường độ âm khi giao thông thành phố A có cường độ \( I = 10^4 \, W/m^2 \) là 160 dB. Đáp số: 160 dB. Câu 2: Để giải phương trình $(3+2\sqrt2)^{x+1}=(3-2\sqrt2)^{x-3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình đã cho không chứa các biểu thức yêu cầu ĐKXĐ cụ thể, do đó ĐKXĐ tự nhiên là $x \in \mathbb{R}$. Bước 2: Chuyển đổi phương trình về dạng cơ bản - Nhận thấy rằng $(3+2\sqrt2)$ và $(3-2\sqrt2)$ là hai số liên quan đến nhau qua mối quan hệ nhân nghịch đảo: \[ (3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2) = 9 - 8 = 1 \] - Do đó, $(3-2\sqrt2) = \frac{1}{3+2\sqrt2}$. Bước 3: Thay vào phương trình ban đầu - Ta có: \[ (3+2\sqrt2)^{x+1} = \left(\frac{1}{3+2\sqrt2}\right)^{x-3} \] - Điều này tương đương với: \[ (3+2\sqrt2)^{x+1} = (3+2\sqrt2)^{-(x-3)} \] Bước 4: So sánh các mũ - Vì cơ số giống nhau và khác 1, ta có thể so sánh các mũ: \[ x + 1 = -(x - 3) \] - Giải phương trình này: \[ x + 1 = -x + 3 \] \[ x + x = 3 - 1 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Bước 5: Kiểm tra nghiệm - Thay $x = 1$ vào phương trình ban đầu để kiểm tra: \[ (3+2\sqrt2)^{1+1} = (3-2\sqrt2)^{1-3} \] \[ (3+2\sqrt2)^2 = (3-2\sqrt2)^{-2} \] - Điều này đúng vì $(3+2\sqrt2)^2 = \frac{1}{(3-2\sqrt2)^2}$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$. Câu 3: Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp S.ABCD. - Đáy ABCD là hình vuông. - Mặt bên SAB là tam giác đều, do đó SA = SB = AB. - SH là đường cao của tam giác đều SAB, đồng thời SH vuông góc với đáy ABCD. Ta cần tìm góc giữa BD và mặt phẳng (SAD). Bước 1: Xác định giao điểm của BD và AD. - Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, cũng là giao điểm của BD và AC. - Ta có AO = OD vì O là trung điểm của AC và BD. Bước 2: Xác định góc giữa BD và (SAD). - Gọi H là chân đường cao từ S hạ xuống AD. - Ta cần tìm góc giữa BD và mặt phẳng (SAD), tức là góc giữa BD và hình chiếu của BD lên (SAD). Bước 3: Xác định hình chiếu của BD lên (SAD). - Vì SH vuông góc với đáy ABCD, nên SH cũng vuông góc với AD. - Hình chiếu của BD lên (SAD) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với AD tại O. Bước 4: Xác định góc giữa BD và hình chiếu của BD lên (SAD). - Gọi góc giữa BD và hình chiếu của BD lên (SAD) là góc AOD. - Ta có góc AOD = 45° vì O là trung điểm của AC và BD trong hình vuông ABCD. Bước 5: Tính sin của góc giữa BD và (SAD). - Gọi góc giữa BD và (SAD) là góc α. - Ta có sinα = sin(45°) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0.71. Vậy sin của góc giữa BD và (SAD) là 0.71. Câu 4: Gọi H là trung điểm của AB ta có: OH vuông góc với AB ( vì tam giác OAB cân tại O) BC vuông góc với mặt phẳng OAB ( vì BC vuông góc với OB và BC vuông góc với OC) Suy ra BC vuông góc với OH Vậy OH vuông góc với mặt phẳng OBC tại H Kẻ HK vuông góc với OB tại K Ta có: OH vuông góc với mặt phẳng OBC suy ra OH vuông góc với OK Vậy OK là hình chiếu của OB trên mặt phẳng OAB Từ đó ta có: Góc BOK là góc giữa hai mặt phẳng OAB và OBC Trong tam giác vuông OAB ta có: $OH=\frac{AB}{2}=\frac{OA}{\sqrt{2}}$ Trong tam giác vuông OHB ta có: $sinBOK=\frac{BH}{OB}=\frac{\frac{AB}{2}}{OB}=\frac{\frac{OA}{\sqrt{2}}}{OA}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ Vậy góc BOK = 45 độ Vậy góc giữa hai mặt phẳng OAB và OBC là 45 độ Câu 1: Để vẽ đồ thị của hàm số mũ \( y = 2^x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tập xác định: Hàm số \( y = 2^x \) có tập xác định là tất cả các số thực, tức là \( D = \mathbb{R} \). 2. Tính toán các điểm trên đồ thị: Chúng ta sẽ tính giá trị của hàm số tại một số điểm khác nhau để có thể vẽ đồ thị chính xác hơn. - Khi \( x = -2 \), \( y = 2^{-2} = \frac{1}{4} \) - Khi \( x = -1 \), \( y = 2^{-1} = \frac{1}{2} \) - Khi \( x = 0 \), \( y = 2^0 = 1 \) - Khi \( x = 1 \), \( y = 2^1 = 2 \) - Khi \( x = 2 \), \( y = 2^2 = 4 \) 3. Xác định giới hạn: - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \) - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to 0 \) 4. Xác định tính chất của hàm số: - Hàm số \( y = 2^x \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định \( \mathbb{R} \). - Hàm số không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. - Đồ thị hàm số không cắt trục hoành (vì \( 2^x > 0 \) với mọi \( x \)). 5. Vẽ đồ thị: - Lấy trục tọa độ Oxy. - Vẽ các điểm đã tính toán ở bước 2: (-2, \(\frac{1}{4}\)), (-1, \(\frac{1}{2}\)), (0, 1), (1, 2), (2, 4). - Vẽ đường cong đi qua các điểm này sao cho khi \( x \to +\infty \), đồ thị tiến dần lên phía trên và khi \( x \to -\infty \), đồ thị tiến dần về trục Ox nhưng không bao giờ cắt trục Ox. Đồ thị của hàm số \( y = 2^x \) sẽ là một đường cong tăng dần từ trái sang phải, bắt đầu từ gần trục Ox khi \( x \) âm và tiến dần lên phía trên khi \( x \) dương. Đồ thị của hàm số \( y = 2^x \) đã được vẽ dựa trên các tính chất và điểm đã tính toán. Câu 2: Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ x^2 - 3x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad x - 2 > 0 \] \[ x > 2 \] Phương trình đã cho: \[ \log_2(x^2 - 3x + 1) - \log_2(x - 2) = 0 \] Áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_2 \left( \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 2} \right) = 0 \] Biến đổi phương trình: \[ \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 2} = 2^0 \] \[ \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 2} = 1 \] Nhân cả hai vế với \( x - 2 \): \[ x^2 - 3x + 1 = x - 2 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 - 3x + 1 - x + 2 = 0 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phân tích phương trình bậc hai: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Tìm nghiệm: \[ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Kiểm tra điều kiện xác định: - \( x = 1 \) không thỏa mãn \( x > 2 \) - \( x = 3 \) thỏa mãn \( x > 2 \) Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 3 \] Câu 3: Để tính góc giữa đoạn thẳng AC và B'C' trong hình lập phương ABCD-A'B'C'D', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương: Giả sử cạnh lập phương có độ dài là \( a \). Ta chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - A'(0, 0, a) - B'(a, 0, a) - C'(a, a, a) - D'(0, a, a) 2. Tìm vector của các đoạn thẳng AC và B'C': - Vector AC: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0) \] - Vector B'C': \[ \overrightarrow{B'C'} = C' - B' = (a, a, a) - (a, 0, a) = (0, a, 0) \] 3. Tính tích vô hướng của hai vector: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B'C'} = (a, a, 0) \cdot (0, a, 0) = a \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2 \] 4. Tính độ dài của hai vector: - Độ dài của \(\overrightarrow{AC}\): \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] - Độ dài của \(\overrightarrow{B'C'}\): \[ |\overrightarrow{B'C'}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = a \] 5. Tính cosin của góc giữa hai vector: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B'C'}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{B'C'}|} = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 6. Tìm góc \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \] Vậy góc giữa đoạn thẳng AC và B'C' là \( 45^\circ \). Đáp số: \( 45^\circ \) Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho tổng diện tích các mặt của bể cá (bao gồm cả vách ngăn) là nhỏ nhất. Trước tiên, ta tính thể tích của bể cá: \[ a \times b \times 3 = 72 \] \[ ab = 24 \] Diện tích toàn phần của bể cá (bao gồm cả vách ngăn) là: \[ S = 2(ab + 3a + 3b) + ab \] \[ S = 2(24 + 3a + 3b) + 24 \] \[ S = 48 + 6a + 6b + 24 \] \[ S = 72 + 6(a + b) \] Để \(S\) nhỏ nhất, ta cần \(a + b\) nhỏ nhất. Ta sẽ sử dụng phương pháp số trung bình để tìm giá trị nhỏ nhất của \(a + b\). Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \] \[ a + b \geq 2\sqrt{24} \] \[ a + b \geq 2 \times 2\sqrt{6} \] \[ a + b \geq 4\sqrt{6} \] Để \(a + b\) nhỏ nhất, ta cần \(a = b\). Do đó: \[ a = b \] \[ a^2 = 24 \] \[ a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] \[ b = 2\sqrt{6} \] Vậy: \[ a + b = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \] Đáp số: \(a + b = 4\sqrt{6}\)