Giải hộ tớ với ạ

Câu 15: Để tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong không gian, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của điểm A là \( A(2;3;2) \). - Tọa độ của điểm B là \( B(0;1;4) \). Trung điểm M của đoạn thẳng AB: \[ M = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{3 + 1}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = (1, 2, 3) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: - Vectơ AB là: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 2, 1 - 3, 4 - 2) = (-2, -2, 2) \] - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (-2, -2, 2)\). 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến và \(d\) là hằng số. - Thay tọa độ của trung điểm M vào phương trình mặt phẳng để tìm \(d\): \[ -2(1) - 2(2) + 2(3) + d = 0 \] \[ -2 - 4 + 6 + d = 0 \] \[ 0 + d = 0 \] \[ d = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ -2x - 2y + 2z = 0 \] 4. So sánh với các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( x + y - z = 0 \) - Đáp án B: \( x + y - z + 1 = 0 \) - Đáp án C: \( -2x - 2y + 2z + 1 = 0 \) - Đáp án D: \( -2x - 2y + 2z + 2 = 0 \) Phương trình đúng là \( -2x - 2y + 2z = 0 \), nhưng nó không nằm trong các đáp án đã cho. Do đó, ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho để tìm ra đáp án đúng. Ta thấy rằng phương trình \( -2x - 2y + 2z = 0 \) có thể được viết lại dưới dạng \( x + y - z = 0 \) bằng cách chia cả hai vế cho -2. Vì vậy, đáp án đúng là: Đáp án: A. \( (P): x + y - z = 0 \). Câu 16: Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~x-2y+3z-1=0$, ta cần tìm vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: \[ x - 2y + 3z - 1 = 0 \] Từ phương trình này, ta thấy các hệ số của $x$, $y$, và $z$ lần lượt là 1, -2, và 3. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có dạng: \[ \overrightarrow{n} = (1, -2, 3) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: A. $\overrightarrow{n_1} = (1, 3, -1)$ B. $\overrightarrow{n_2} = (-2, 3, -1)$ C. $\overrightarrow{n_3} = (1, -2, -1)$ D. $\overrightarrow{n_4} = (1, -2, 3)$ Ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{n_4} = (1, -2, 3)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{n_4} = (1, -2, 3)$. Câu 17: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(1;2;-3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (1; -2; 3) \) có dạng: \[ 1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z + 3) = 0 \] Ta sẽ mở rộng và đơn giản hóa phương trình này: \[ x - 1 - 2y + 4 + 3z + 9 = 0 \] \[ x - 2y + 3z + 12 = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng đúng là: \[ x - 2y + 3z + 12 = 0 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( x - 2y + 3z + 12 = 0 \). Câu 18: Để tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đoạn thẳng $AB$ và song song với đoạn thẳng $CD$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-2); 0 - 6; 6 - 3) = (3; -6; 3)$. - Vectơ $\overrightarrow{CD} = D - C = (1 - 0; 4 - 2; 0 - (-1)) = (1; 2; 1)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $AB$ và song song với $CD$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ sẽ vuông góc với cả $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$. Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} \] \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -6 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-6)(1) - (3)(2)) - \mathbf{j}((3)(1) - (3)(1)) + \mathbf{k}((3)(2) - (-6)(1)) \] \[ = \mathbf{i}(-6 - 6) - \mathbf{j}(3 - 3) + \mathbf{k}(6 + 6) \] \[ = -12\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 12\mathbf{k} \] \[ = (-12; 0; 12) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng. Ta chọn điểm $A(-2, 6, 3)$: \[ -12(x + 2) + 0(y - 6) + 12(z - 3) = 0 \] \[ -12x - 24 + 12z - 36 = 0 \] \[ -12x + 12z - 60 = 0 \] Chia cả phương trình cho -12 để đơn giản hóa: \[ x - z + 5 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ \boxed{x - z + 5 = 0} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \text{C. } x - z + 5 = 0 \] Câu 19: a) Vận tốc của viên đạn tại thời điểm $t=2$ giây là: \[ v(2) = 60 - 10 \times 2 = 60 - 20 = 40 \text{ (m/s)} \] Vậy, khẳng định này đúng. b) Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khi vận tốc của nó bằng 0. Ta có: \[ v(t) = 60 - 10t = 0 \] Giải phương trình này: \[ 60 - 10t = 0 \] \[ 10t = 60 \] \[ t = 6 \text{ (giây)} \] Vậy, viên đạn đạt độ cao lớn nhất sau 6 giây. Khẳng định này đúng. c) Độ cao của viên đạn tại thời điểm $t$ được xác định bởi công thức: \[ h(t) = 60t - 5t^2 \] Ta kiểm tra lại công thức này bằng cách tính đạo hàm của $h(t)$ để tìm vận tốc: \[ h'(t) = \frac{d}{dt}(60t - 5t^2) = 60 - 10t \] Đạo hàm này đúng với công thức vận tốc đã cho $v(t) = 60 - 10t$. Vậy, khẳng định này đúng. d) Độ cao lớn nhất của viên đạn so với mặt đất là: \[ h(6) = 60 \times 6 - 5 \times 6^2 = 360 - 180 = 180 \text{ (m)} \] Tuy nhiên, ta cần cộng thêm độ cao ban đầu 2m: \[ h_{\text{max}} = 180 + 2 = 182 \text{ (m)} \] Vậy, khẳng định này sai vì độ cao lớn nhất của viên đạn so với mặt đất là 182 m, không phải 180 m. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 20: a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=s(z)$ các đường thẳng $x=-1; x=1$ trục Ox bằng 4. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = s(z)$, các đường thẳng $x = -1$, $x = 1$ và trục Ox, ta cần biết hàm số $s(z)$. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp thông tin về hàm số này. Do đó, chúng ta không thể tính diện tích chính xác. Vì vậy, câu a) không thể xác định. b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là $x = 0; z = 3$. Để tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$, ta giải phương trình: \[ f(x) = g(x) \] \[ x^2 - 2x + 2 = x + 2 \] \[ x^2 - 3x = 0 \] \[ x(x - 3) = 0 \] Vậy, hoành độ giao điểm là $x = 0$ và $x = 3$. Câu b) đúng. c) Hình (H) có diện tích bằng $\frac{2}{3}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $f(x) = x^2 - 2x + 2$ và $g(x) = x + 2$ từ $x = 0$ đến $x = 3$ là: \[ S = \int_{0}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx \] \[ S = \int_{0}^{3} [(x + 2) - (x^2 - 2x + 2)] \, dx \] \[ S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx \] \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3} \] \[ S = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) \] \[ S = \left( -9 + \frac{27}{2} \right) - 0 \] \[ S = \frac{-18 + 27}{2} \] \[ S = \frac{9}{2} \] Vậy, diện tích hình (H) là $\frac{9}{2}$, không phải $\frac{2}{3}$. Câu c) sai. d) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox bằng $\frac{117}{5}$. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox từ $x = 0$ đến $x = 3$ là: \[ V = \pi \int_{0}^{3} [g(x)^2 - f(x)^2] \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{3} [(x + 2)^2 - (x^2 - 2x + 2)^2] \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{3} [(x^2 + 4x + 4) - (x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 8x + 4)] \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{3} [-x^4 + 4x^3 - 7x^2 + 12x] \, dx \] \[ V = \pi \left[ -\frac{x^5}{5} + x^4 - \frac{7x^3}{3} + 6x^2 \right]_{0}^{3} \] \[ V = \pi \left( -\frac{3^5}{5} + 3^4 - \frac{7 \cdot 3^3}{3} + 6 \cdot 3^2 \right) - \pi \left( -\frac{0^5}{5} + 0^4 - \frac{7 \cdot 0^3}{3} + 6 \cdot 0^2 \right) \] \[ V = \pi \left( -\frac{243}{5} + 81 - 63 + 54 \right) \] \[ V = \pi \left( -\frac{243}{5} + 72 \right) \] \[ V = \pi \left( -\frac{243}{5} + \frac{360}{5} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{117}{5} \right) \] \[ V = \frac{117\pi}{5} \] Vậy, thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox là $\frac{117\pi}{5}$. Câu d) đúng. Đáp án: b) và d).