gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số được chọn từ các chữ số 1 2 3 4 5 6 7 . chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S, tính xác suất để số được chọn có mặt đúng 3 chữ số khác nhau

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tổng số các số tự nhiên gồm 5 chữ số được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- Mỗi chữ số có thể lặp lại hoặc không lặp lại.
- Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số được chọn từ 7 chữ số là:
$$ 7^5 = 16807 $$

Bước 2: Xác định số các số tự nhiên gồm 5 chữ số có đúng 3 chữ số khác nhau.
- Chọn 3 chữ số khác nhau từ 7 chữ số: 
$$ \binom{7}{3} = 35 $$
- Chia 5 vị trí cho 3 chữ số đã chọn, mỗi chữ số có thể xuất hiện nhiều lần nhưng tổng cộng phải là 5 chữ số.
- Số cách chia 5 vị trí cho 3 chữ số là:
$$ \frac{5!}{a!b!c!} $$
Trong đó, $a + b + c = 5$ và $a, b, c \geq 1$. Các trường hợp có thể xảy ra là:
1. $ (3, 1, 1)$
2. $ (2, 2, 1)$

Trường hợp 1: $ (3, 1, 1)$
- Số cách chia 5 vị trí cho 3 chữ số là:
$$ \frac{5!}{3!1!1!} = 20 $$
- Số cách sắp xếp 3 chữ số là:
$$ 3! = 6 $$
- Tổng số cách là:
$$ 20 \times 6 = 120 $$

Trường hợp 2: $ (2, 2, 1)$
- Số cách chia 5 vị trí cho 3 chữ số là:
$$ \frac{5!}{2!2!1!} = 30 $$
- Số cách sắp xếp 3 chữ số là:
$$ 3! = 6 $$
- Tổng số cách là:
$$ 30 \times 6 = 180 $$

Tổng số các số tự nhiên gồm 5 chữ số có đúng 3 chữ số khác nhau là:
$$ 120 + 180 = 300 $$

Bước 3: Tính xác suất.
- Xác suất để số được chọn có mặt đúng 3 chữ số khác nhau là:
$$ P = \frac{\text{Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số có đúng 3 chữ số khác nhau}}{\text{Tổng số các số tự nhiên gồm 5 chữ số}} = \frac{300}{16807} $$

Đáp số:
$$ P = \frac{300}{16807} $$