hepppppppp

Câu 4: Điều kiện: \( b > 0 \) Tiêu điểm của parabol \( y^2 = 2x \) là \( F\left(\frac{1}{2}; 0\right) \). Khoảng cách từ điểm \( M(a; b) \) đến tiêu điểm \( F \) là: \[ MF = \sqrt{\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + b^2} \] Theo đề bài, ta có: \[ \sqrt{\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + b^2} = 4 \] Bình phương cả hai vế: \[ \left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + b^2 = 16 \] Vì \( M(a; b) \) thuộc parabol \( y^2 = 2x \), nên ta có: \[ b^2 = 2a \] Thay \( b^2 = 2a \) vào phương trình trên: \[ \left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + 2a = 16 \] Mở ngoặc và giản ước: \[ a^2 - a + \frac{1}{4} + 2a = 16 \] \[ a^2 + a + \frac{1}{4} = 16 \] \[ a^2 + a + \frac{1}{4} - 16 = 0 \] \[ a^2 + a - \frac{63}{4} = 0 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại mẫu: \[ 4a^2 + 4a - 63 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ a = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-63)}}{2 \cdot 4} \] \[ a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 1008}}{8} \] \[ a = \frac{-4 \pm \sqrt{1024}}{8} \] \[ a = \frac{-4 \pm 32}{8} \] Ta có hai nghiệm: \[ a = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} \quad \text{hoặc} \quad a = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2} \] Vì \( b > 0 \), ta chọn \( a = \frac{7}{2} \). Thay vào \( b^2 = 2a \): \[ b^2 = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7 \] Tính \( 4a^2 + b^2 \): \[ 4a^2 + b^2 = 4 \left(\frac{7}{2}\right)^2 + 7 \] \[ = 4 \cdot \frac{49}{4} + 7 \] \[ = 49 + 7 \] \[ = 56 \] Vậy giá trị của \( 4a^2 + b^2 \) là: \[ \boxed{56} \]