Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm)...

1) 

Ta có $$ (do $$( O ), A$ là tiếp điểm).

Suy ra ba điểm $$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $$
Lại có $$ (do MB là tiếp tuyến của $$ là tiếp điểm).
Suy ra ba điểm $$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $$
Từ (1), (2), ta được tứ giác $$ nội tiếp đường tròn đường kính $$
2) 

Đường tròn $$ có $$là dây cung.

Mà $$ là trung điểm của $$ (giả thiết).
Suy ra $$ $$ $$ tại $$ hay $$.
Do đó ba điểm $$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $$
Mà từ kết quả câu 1 ), ta có bốn điểm $$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $$.
Vậy năm điểm $$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $$
3)

 Từ kết quả câu 1 ), ta có tứ giác $$ nội tiếp đường tròn đường kính $$

Suy ra $$ là dây cung của đường tròn đường kính $$
Do đó $$.
$$ vuông tại $$ có $$ là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $$ 

$$
Vậy suy ra $$< span style="background-color:rgb(255,255,255);color:rgb(51,51,51);"> không đổi

4) 

Ta có $$ do $$ là tiếp tuyến của $$ và $$ (giả thiết).

Suy ra $$
Chứng minh tương tự, ta được $$.
Do đó tứ giác $$ là hình bình hành.
Mà $$.
Vậy tứ giác $$ là hình thoi.
5) 

Ta có $$ (do tứ giác $$ là hình thoi).

Mà $$ (theo kết quả câu 3 ).
Do đó $$.
Vậy ba điểm $$ thẳng hàng.
6) 

Do d là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) nên mọi điểm đều nằm cùng một phía đối với d .

Ta có $$ là hình thoi (kết quả câu 4).
Suy ra $$.
Do đó khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A một khoảng cố định bằng R .
Vậy quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A , bán kính $$.