* Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx+xyz=4. Chứng minh xyz≤1 và x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = (x+y+z)/2

Question

* Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx+xyz=4. Chứng minh xyz≤1 và x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) >= (x+y+z)/2

trầm tính · Accepted Answer

- Đặt $ a = \sqrt{x}, b = \sqrt{y}, c = \sqrt{z} $. Khi đó, $ a, b, c > 0 $.
- Ta có:
$$
ab + bc + ca + abc^2 = 4
$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
- Từ điều kiện $ xy + yz + zx + xyz = 4 $, ta có:
$$
4 = xy + yz + zx + xyz \geq 3\sqrt[3]{(xy)(yz)(zx)} + xyz = 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} + xyz
$$
$$
Vậy: 4 \geq 3(xyz)^{2/3} + xyz
$$
- Đặt $ t = (xyz)^{1/3} $, ta có:
$$
4 \geq 3t^2 + t^3 \quad \Rightarrow \quad t^3 + 3t^2 - 4 \leq 0
$$
$$
(t - 1)(t^2 + 4t + 4) \leq 0 \quad \Rightarrow \quad t \leq 1
$$
$$
\Rightarrow \quad xyz \leq 1
$$ (Điều phải chứng minh)

Xét: $$
\frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}
$$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng:
$$
\left( \frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \right) ((y+z) + (x+z) + (x+y)) \geq (x+y+z)^2
$$
Vì tổng các mẫu số:
$$
(y+z) + (x+z) + (x+y) = 2(x+y+z)
$$
nên từ bất đẳng thức trên, ta có:
$$
\left( \frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \right) \cdot 2(x+y+z) \geq (x+y+z)^2
$$
Chia hai vế cho $ 2(x+y+z) $ (với $ x+y+z > 0 $), ta được:
$$
\frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}.
$$

Điều phải chứng minh.

Timi · Answer

Để chứng minh $xyz \leq 1$ và $\frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}$, ta sẽ làm như sau:

Chứng minh $xyz \leq 1$:

Ta có điều kiện $xy + yz + zx + xyz = 4$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số $xy, yz, zx$:
$$ xy + yz + zx \geq 3\sqrt[3]{(xy)(yz)(zx)} = 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} = 3(xyz)^{\frac{2}{3}} $$

Do đó:
$$ xy + yz + zx + xyz \geq 3(xyz)^{\frac{2}{3}} + xyz $$

Theo giả thiết:
$$ 4 \geq 3(xyz)^{\frac{2}{3}} + xyz $$

Gọi $t = xyz$, ta có:
$$ 4 \geq 3t^{\frac{2}{3}} + t $$

Xét hàm số $f(t) = 3t^{\frac{2}{3}} + t$. Ta thấy rằng $f(t)$ là hàm số đồng biến trên $(0, +\infty)$ và $f(1) = 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} + 1 = 4$.

Vì $f(t)$ đồng biến và $f(1) = 4$, nên để $3t^{\frac{2}{3}} + t \leq 4$, ta phải có $t \leq 1$. Do đó:
$$ xyz \leq 1 $$

Chứng minh $\frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}$:

Áp dụng bất đẳng thức Nesbitt cho ba số dương $x, y, z$:
$$ \frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} $$

Ta cần chứng minh:
$$ \frac{3}{2} \geq \frac{x+y+z}{2} $$

Điều này tương đương với:
$$ 3 \geq x + y + z $$

Ta đã biết $xy + yz + zx + xyz = 4$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số $x, y, z$:
$$ x + y + z \geq 3\sqrt[3]{xyz} $$

Vì $xyz \leq 1$, ta có:
$$ 3\sqrt[3]{xyz} \leq 3 $$

Do đó:
$$ x + y + z \leq 3 $$

Vậy:
$$ \frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} \geq \frac{x+y+z}{2} $$

Tóm lại, ta đã chứng minh được $xyz \leq 1$ và $\frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}$.