giúp mik với

Câu 14. Để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \), ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau không: - Đường thẳng \( d_1 \) có phương vector \( \vec{u}_1 = (4, -6, -8) \). - Đường thẳng \( d_2 \) có phương vector \( \vec{u}_2 = (-6, 9, 12) \). Ta thấy rằng: \[ \vec{u}_2 = -\frac{3}{2} \vec{u}_1 \] Điều này cho thấy hai đường thẳng có cùng phương hoặc song song. 2. Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không: - Ta cần kiểm tra xem có điểm chung nào giữa hai đường thẳng hay không. - Gọi tọa độ của điểm trên \( d_1 \) là \( (x_1, y_1, z_1) \) và trên \( d_2 \) là \( (x_2, y_2, z_2) \). Ta có: \[ d_1: \left( x_1, y_1, z_1 \right) = (2 + 4t, -6t, -1 - 8t) \] \[ d_2: \left( x_2, y_2, z_2 \right) = (7 - 6s, 2 + 9s, 12s) \] Để hai đường thẳng cắt nhau, ta cần: \[ 2 + 4t = 7 - 6s \] \[ -6t = 2 + 9s \] \[ -1 - 8t = 12s \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ hai: \[ -6t = 2 + 9s \implies t = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2}s \] Thay vào phương trình thứ ba: \[ -1 - 8 \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2}s \right) = 12s \] \[ -1 + \frac{8}{3} + 12s = 12s \] \[ \frac{5}{3} = 0 \] Điều này là vô lý, do đó hai đường thẳng không cắt nhau. 3. Kết luận: Vì hai đường thẳng có cùng phương nhưng không cắt nhau, nên chúng song song. Đáp án: B. Song song. Câu15. Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, trùng nhau, hoặc chéo nhau. 1. Kiểm tra điều kiện song song: - Vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (2, -1, 1)\). - Vector chỉ phương của đường thẳng \(d'\) là \(\vec{v} = (2, -1, 1)\). Ta thấy rằng \(\vec{u} = \vec{v}\), tức là hai vector chỉ phương giống nhau. Do đó, hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có thể song song hoặc trùng nhau. 2. Kiểm tra điều kiện trùng nhau: - Để hai đường thẳng trùng nhau, điểm trên đường thẳng \(d\) phải nằm trên đường thẳng \(d'\). Ta chọn điểm \(M(1, 2, 0)\) thuộc đường thẳng \(d\) (khi \(t = 0\)) và kiểm tra xem điểm này có thuộc đường thẳng \(d'\) hay không. Thay tọa độ của điểm \(M(1, 2, 0)\) vào phương trình của đường thẳng \(d'\): \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 = 3 + 2t \\ 2 = 1 - t \\ 0 = 1 + t \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \(1 = 3 + 2t \Rightarrow 2t = -2 \Rightarrow t = -1\) - Từ phương trình thứ hai: \(2 = 1 - t \Rightarrow t = -1\) - Từ phương trình thứ ba: \(0 = 1 + t \Rightarrow t = -1\) Ta thấy rằng tất cả các phương trình đều cho \(t = -1\), do đó điểm \(M(1, 2, 0)\) thuộc đường thẳng \(d'\). Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trùng nhau. Đáp án: C. \(d \equiv d'\). Câu 16. Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, cắt hoặc chéo nhau. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng - Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 2 + 3t \\ z = t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{u} = (-1, 3, 1)\). - Đường thẳng \(d'\) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 3t \\ z = 1 + t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\vec{v} = (1, 3, 1)\). Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương, tức là tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\vec{u} = k \vec{v}\). Ta thấy: \[ (-1, 3, 1) \neq k(1, 3, 1) \] Không tồn tại \(k\) nào thỏa mãn điều kiện trên, do đó \(d\) và \(d'\) không song song. Bước 3: Kiểm tra điều kiện cắt nhau Hai đường thẳng cắt nhau nếu tồn tại cặp số \(t\) và \(s\) sao cho: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 - t = s \\ 2 + 3t = 3s \\ t = 1 + s \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: 1. Từ phương trình thứ ba: \(t = 1 + s\). 2. Thay vào phương trình thứ nhất: \(1 - (1 + s) = s \Rightarrow -s = s \Rightarrow s = 0\). 3. Thay \(s = 0\) vào \(t = 1 + s \Rightarrow t = 1\). Kiểm tra lại phương trình thứ hai: \[ 2 + 3(1) = 3(0) \Rightarrow 5 = 0 \] Phương trình này vô lý, do đó không có cặp số \(t\) và \(s\) nào thỏa mãn cả ba phương trình. Vậy \(d\) và \(d'\) không cắt nhau. Kết luận Vì \(d\) và \(d'\) không song song và không cắt nhau, nên chúng chéo nhau. Đáp án đúng là: D. d, d' chéo nhau. Câu 17. Để tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\), ta thay tọa độ của điểm trên đường thẳng \(d\) vào phương trình của mặt phẳng \((P)\). Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t \\ y = t \\ z = -t \end{array} \right. \] Mặt phẳng \((P)\) có phương trình: \[ (P): x - y + z - 2 = 0 \] Thay \(x = 1 + 3t\), \(y = t\), và \(z = -t\) vào phương trình của mặt phẳng \((P)\): \[ (1 + 3t) - t + (-t) - 2 = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ 1 + 3t - t - t - 2 = 0 \\ 1 + t - 2 = 0 \\ t - 1 = 0 \\ t = 1 \] Khi \(t = 1\), ta thay lại vào phương trình tham số của đường thẳng \(d\) để tìm tọa độ giao điểm: \[ x = 1 + 3 \cdot 1 = 4 \\ y = 1 \\ z = -1 \] Vậy giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) có tọa độ là \((4, 1, -1)\). Đáp án đúng là: C. \((4, 1, -1)\). Câu 18. Để tìm tọa độ giao điểm \( H \) của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng \( (P) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng \( d \): Đường thẳng \( d \) có phương trình: \[ \frac{x-12}{4} = \frac{y-9}{3} = \frac{z-1}{1} \] Ta đặt tham số \( t \): \[ x = 12 + 4t, \quad y = 9 + 3t, \quad z = 1 + t \] 2. Thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng \( (P) \): Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình: \[ 3x + 5y - z - 2 = 0 \] Thay \( x = 12 + 4t \), \( y = 9 + 3t \), \( z = 1 + t \) vào phương trình mặt phẳng: \[ 3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0 \] \[ 36 + 12t + 45 + 15t - 1 - t - 2 = 0 \] \[ 36 + 45 - 1 - 2 + 12t + 15t - t = 0 \] \[ 78 + 26t = 0 \] \[ 26t = -78 \] \[ t = -3 \] 3. Tìm tọa độ giao điểm \( H \): Thay \( t = -3 \) vào phương trình tham số của đường thẳng \( d \): \[ x = 12 + 4(-3) = 12 - 12 = 0 \] \[ y = 9 + 3(-3) = 9 - 9 = 0 \] \[ z = 1 + (-3) = 1 - 3 = -2 \] Vậy tọa độ giao điểm \( H \) là \( (0, 0, -2) \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( H(0, 0, -2) \). Câu 19. Để tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng AB và mặt phẳng (Oyz), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB: Đường thẳng AB đi qua điểm A(2;1;-3) và có vectơ hướng là $\overrightarrow{AB} = (4-2, 2-1, 1+3) = (2, 1, 4)$. Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \[ \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = -3 + 4t \end{cases} \] 2. Xác định điều kiện để giao điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz): Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là \(x = 0\). Do đó, để giao điểm M nằm trên mặt phẳng này, tọa độ x của M phải bằng 0. 3. Tìm giá trị của tham số \(t\) sao cho \(x = 0\): Từ phương trình \(x = 2 + 2t\), ta có: \[ 2 + 2t = 0 \implies t = -1 \] 4. Thay giá trị của \(t\) vào phương trình tham số để tìm tọa độ giao điểm M: Thay \(t = -1\) vào phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 2 + 2(-1) = 0 \\ y = 1 + (-1) = 0 \\ z = -3 + 4(-1) = -7 \end{cases} \] Vậy tọa độ giao điểm M là \(M(0; 0; -7)\). Do đó, đáp án đúng là: \[ \text{B. } (0; 0; -7) \] Câu 20. Để tìm tọa độ của điểm H, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng $(P):~x + y - z - 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 1, -1)$. 2. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P): Đường thẳng đi qua điểm $A(3, 3, -2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 1, -1)$ sẽ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = 3 + t \\ z = -2 - t \end{array} \right. \] 3. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (P): Thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ (3 + t) + (3 + t) - (-2 - t) - 2 = 0 \] \[ 3 + t + 3 + t + 2 + t - 2 = 0 \] \[ 6 + 3t = 0 \] \[ 3t = -6 \] \[ t = -2 \] 4. Tìm tọa độ điểm H: Thay $t = -2$ vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + (-2) = 1 \\ y = 3 + (-2) = 1 \\ z = -2 - (-2) = 0 \end{array} \right. \] Vậy tọa độ của điểm H là $(1, 1, 0)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(1, 1, 0)$. Câu 21. Để tìm tọa độ hình chiếu vuông của điểm \( A(1; 2; 3) \) lên đường thẳng \( d \), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình đường thẳng \( d \) dưới dạng vector: Đường thẳng \( d \) có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = -2 - t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Vector chỉ phương của đường thẳng \( d \) là \( \vec{u} = (2, -1, 1) \). 2. Tìm tọa độ điểm \( M \) trên đường thẳng \( d \): Gọi \( M(t) \) là hình chiếu vuông của điểm \( A \) lên đường thẳng \( d \). Tọa độ của điểm \( M \) là: \[ M(2 + 2t, -2 - t, 3 + t) \] 3. Tìm vector \( \overrightarrow{AM} \): Vector \( \overrightarrow{AM} \) từ điểm \( A \) đến điểm \( M \) là: \[ \overrightarrow{AM} = (2 + 2t - 1, -2 - t - 2, 3 + t - 3) = (1 + 2t, -4 - t, t) \] 4. Yêu cầu \( \overrightarrow{AM} \) vuông góc với \( \vec{u} \): Điều kiện để \( \overrightarrow{AM} \) vuông góc với \( \vec{u} \) là tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0 \] Thay vào: \[ (1 + 2t) \cdot 2 + (-4 - t) \cdot (-1) + t \cdot 1 = 0 \] \[ 2 + 4t + 4 + t + t = 0 \] \[ 6 + 6t = 0 \] \[ t = -1 \] 5. Tìm tọa độ của điểm \( M \): Thay \( t = -1 \) vào phương trình của đường thẳng \( d \): \[ M(2 + 2(-1), -2 - (-1), 3 + (-1)) = M(0, -1, 2) \] Vậy tọa độ hình chiếu vuông của điểm \( A \) lên đường thẳng \( d \) là \( (0, -1, 2) \). Đáp án đúng là: A. \( (0, -1, 2) \) Câu 22. Để viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1; -3; 2)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P): 2x - y + 3z - 1 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(2x - y + 3z - 1 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n} = (2, -1, 3)\). 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Vì đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\), nên vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (2, -1, 3)\). 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1, -3, 2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2, -1, 3)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \] trong đó \(t\) là tham số. Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \]