Có sử dụng được công thức cấp số nhân bình thường thay cho công thức cấp số nhân lùi vô hạn dc ko

Question

Accepted Answer

Công thức cấp số nhân bình thường và công thức cấp số nhân lùi vô hạn đều có thể sử dụng tùy theo ngữ cảnh và yêu cầu của bài toán. Tuy nhiên, chúng ta cần hiểu rõ sự khác biệt giữa hai loại công thức này để áp dụng đúng cách.

Công thức cấp số nhân bình thường:
Cấp số nhân bình thường là dãy số trong đó mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một hằng số cố định gọi là tỉ số công bội $ q $. Công thức tổng của $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:
$$ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} $$
Trong đó:
- $ a_1 $ là số hạng đầu tiên,
- $ q $ là tỉ số công bội,
- $ n $ là số lượng số hạng.

Công thức cấp số nhân lùi vô hạn:
Cấp số nhân lùi vô hạn là trường hợp đặc biệt của cấp số nhân khi số lượng số hạng tiến đến vô cùng ($ n \to \infty $) và $ |q| < 1 $. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
$$ S = \frac{a_1}{1 - q} $$

Lập luận từng bước:
1. Hiểu rõ ngữ cảnh: Trước hết, cần xác định xem bài toán yêu cầu tính tổng của bao nhiêu số hạng. Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính tổng của một số hữu hạn số hạng, thì sử dụng công thức cấp số nhân bình thường là phù hợp. Nếu bài toán liên quan đến tổng của vô số số hạng và $ |q| < 1 $, thì sử dụng công thức cấp số nhân lùi vô hạn.

2. Kiểm tra điều kiện: Đối với cấp số nhân lùi vô hạn, điều kiện $ |q| < 1 $ là bắt buộc để đảm bảo tổng tồn tại và hữu hạn. Nếu điều kiện này không thoả mãn, công thức cấp số nhân lùi vô hạn không thể áp dụng.

3. Áp dụng công thức phù hợp:
   - Nếu bài toán yêu cầu tính tổng của $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số nhân, sử dụng công thức:
     $$ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} $$
   - Nếu bài toán yêu cầu tính tổng của vô số số hạng và $ |q| < 1 $, sử dụng công thức:
     $$ S = \frac{a_1}{1 - q} $$

Kết luận:
Có thể sử dụng công thức cấp số nhân bình thường thay cho công thức cấp số nhân lùi vô hạn nếu bài toán yêu cầu tính tổng của một số hữu hạn số hạng. Tuy nhiên, nếu bài toán liên quan đến tổng của vô số số hạng và $ |q| < 1 $, thì chỉ nên sử dụng công thức cấp số nhân lùi vô hạn.