cho đg tròn ( o ) bán kính r=5cm dây cung BC=8cm. Lấy điểm A trên cung lớn BC. Kẻ đường kính AD. Các đg cao BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm BC a. chứng minh tứ giác BHCD là...

a. Ta có: \( I \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BI = IC \) Lại có \( BE \) và \( CF \) là các đường cao của tam giác \( ABC \) nên \( BE \perp AC \) và \( CF \perp AB \) Do đó, \( \angle BEC = \angle CFB = 90^\circ \) Xét tam giác \( BEC \) và tam giác \( CFB \): - \( \angle BEC = \angle CFB = 90^\circ \) - \( EC = FB \) (vì \( E \) và \( F \) là chân đường cao hạ từ \( B \) và \( C \) xuống \( AC \) và \( AB \)) - \( BC \) chung Vậy tam giác \( BEC \) và tam giác \( CFB \) bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông) Suy ra: \( BE = CF \) Ta cũng có \( \angle BHC = \angle CHB \) (hai góc đối đỉnh) Vậy tứ giác \( BHCD \) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo, do đó tứ giác \( BHCD \) là hình bình hành. b. Ta có \( AD \) là đường kính của đường tròn \( (O) \) nên \( \angle ABD = 90^\circ \) Xét tam giác \( ABD \) có \( \angle ABD = 90^\circ \) và \( AD \) là đường kính nên \( D \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD \) Vì \( D \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD \) nên \( DA = DB = DC = r = 5 \text{ cm} \) Xét tam giác \( ABD \) có \( \angle ABD = 90^\circ \) nên \( AD \) là đường cao hạ từ đỉnh \( D \) xuống đáy \( AB \) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác \( ABD \): \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times BD = \frac{1}{2} \times AD \times BE \] Vì \( AD = 10 \text{ cm} \) (đường kính) và \( BD = 5 \text{ cm} \) (bán kính) nên ta có: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times 5 = \frac{1}{2} \times 10 \times BE \] Từ đây suy ra: \[ AB \times 5 = 10 \times BE \] \[ AB = 2 \times BE \] Vì \( BE \) là đường cao hạ từ \( B \) xuống \( AC \) nên \( BE \) là đường cao của tam giác \( ABC \) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác \( ABC \): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times BE = \frac{1}{2} \times 8 \times BE \] Vì \( S_{ABC} = S_{ABD} \) nên ta có: \[ \frac{1}{2} \times 8 \times BE = \frac{1}{2} \times AB \times 5 \] \[ 8 \times BE = AB \times 5 \] \[ 8 \times BE = 2 \times BE \times 5 \] \[ 8 = 2 \times 5 \] \[ BE = 4 \text{ cm} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \( AH \) là: \[ AH = AD - HD = 10 - 4 = 6 \text{ cm} \] Đáp số: \( AH = 6 \text{ cm} \)