Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho hàm số $f(x)$ khả vi vô hạn trên R thỏa mãn:,$\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}f(x)dx=0.$,Chứng minh rằng nếu $f(x)$ là một hàm đa thức thì $if(x)\equiv0.$

Question

Accepted Answer

Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho $f^{(n)}(x)
ot\equiv0$ và $f^{(k)}(x)\equiv0,\forall k>n.$ Ta có:
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0.$
Từ đây ta có:
$\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}f(x)dx=\sum^n_{k=0}a_k\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}x^kdx=0.$
Ta sẽ chứng minh $\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}x^kdx=0,\forall k>0.$ Thật vậy, ta có:
$\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}x^kdx=\int^0_{-\infty}e^{-x^2}x^kdx+\int^\infty_0e^{-x^2}x^kdx.$
Đặt $t=-x$ trong tích phân thứ nhất ta có:
$\int^0_{-\infty}e^{-x^2}x^kdx=(-1)^k\int^\infty_0e^{-t^2}t^kdt.$
Vậy $\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}x^kdx=(1+(-1)^k)\int^\infty_0e^{-x^2}x^kdx.$
Nếu k chẵn thì $\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}x^kdx=2\int^\infty_0e^{-x^2}x^kdx>0.$
Nếu k lẻ thì $\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}x^kdx=0.$
Vậy $\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}x^kdx=0,\forall k>0.$
Do đó ta có:
$a_0\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}dx=0.$
Mà $\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}dx>0$ nên suy ra $a_0=0.$
Vậy $f(x)=x(a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1).$
Từ đây ta có:
$f'(x)=a_nnx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1.$
Vậy $f'(x)$ là một đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n - 1.
Ta lại có:
$\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}f'(x)dx=0.$
Từ đây ta có:
$\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}(a_nnx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1)dx=0.$
Tương tự như trên ta cũng có:
$a_1=0.$
Vậy $f(x)=x^2(a_nx^{n-2}+a_{n-1}x^{n-3}+...+a_2).$
Từ đây ta có:
$f''(x)=a_nn(n-1)x^{n-2}+a_{n-1}(n-1)(n-2)x^{n-3}+...+a_2	imes 2.$
Vậy $f''(x)$ là một đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n - 2.
Ta lại có:
$\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}f''(x)dx=0.$
Từ đây ta có:
$\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}(a_nn(n-1)x^{n-2}+a_{n-1}(n-1)(n-2)x^{n-3}+...+a_2	imes 2)dx=0.$
Tương tự như trên ta cũng có:
$a_2=0.$
Tiếp tục như trên ta có:
$a_3=a_4=...=a_n=0.$
Vậy $f(x)\equiv0.$