hdlhclclcgu Câu 2. Trong không gian Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0),$ đơn vị trên mỗi trụ,tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị t,$A(-500;-250;150),B(-200;-200;100).$ Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên hướng bay thì tọa độ của vị t,máy bay khi ở gần đài kiểm soát nhất là $(a;b;c).$ Giá trị của biểu thức $-3a-b-c+\frac{10}{19}$ là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 2.
Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương thẳng đứng từ điểm O đến đường thẳng AB.
2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng AB.

Bước 1: Xác định phương thẳng đứng từ điểm O đến đường thẳng AB

Phương thẳng đứng từ điểm O đến đường thẳng AB là đường thẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng AB. Ta sẽ tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa O và vuông góc với đường thẳng AB.

Vectơ AB = B - A = (-200 + 500; -200 + 250; 100 - 150) = (300; 50; -50)

Phương thẳng đứng từ O đến AB sẽ có vectơ chỉ phương là (300; 50; -50).

Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng AB

Ta viết phương trình đường thẳng đi qua O và có vectơ chỉ phương là (300; 50; -50):

$$
\frac{x}{300} = \frac{y}{50} = \frac{z}{-50} = t
$$

Từ đây ta có:

$$
x = 300t, \quad y = 50t, \quad z = -50t
$$

Đường thẳng AB có phương trình tham số:

$$
x = -500 + 300k, \quad y = -250 + 50k, \quad z = 150 - 50k
$$

Để tìm giao điểm, ta đặt:

$$
300t = -500 + 300k
$$
$$
50t = -250 + 50k
$$
$$
-50t = 150 - 50k
$$

Giải hệ phương trình này:

$$
300t = -500 + 300k \implies t = -\frac{5}{3} + k
$$
$$
50t = -250 + 50k \implies t = -5 + k
$$
$$
-50t = 150 - 50k \implies t = -3 + k
$$

Từ đây ta thấy rằng:

$$
-\frac{5}{3} + k = -5 + k \implies k = \frac{10}{3}
$$

Thay lại vào phương trình:

$$
t = -5 + \frac{10}{3} = -\frac{5}{3}
$$

Tọa độ giao điểm là:

$$
x = 300 \left(-\frac{5}{3}\right) = -500
$$
$$
y = 50 \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{250}{3}
$$
$$
z = -50 \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{250}{3}
$$

Vậy tọa độ của vị trí máy bay khi ở gần đài kiểm soát nhất là $(-500; -\frac{250}{3}; \frac{250}{3})$.

Bước cuối cùng là tính giá trị của biểu thức $-3a - b - c + \frac{10}{19}$:

$$
-3a - b - c + \frac{10}{19} = -3(-500) - \left(-\frac{250}{3}\right) - \left(\frac{250}{3}\right) + \frac{10}{19}
$$
$$
= 1500 + \frac{250}{3} - \frac{250}{3} + \frac{10}{19}
$$
$$
= 1500 + \frac{10}{19}
$$

Vậy giá trị của biểu thức là $1500 + \frac{10}{19}$.