Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh AF.AB=AE.AC và góc AEF=góc ABC b/ Chứng minh EB là phân giác góc DEF c/ Gọi giao điểm của AD và EF là K. Chứng minh AK.HD...

a/ Ta có: - Tam giác ACF và tam giác ABE có góc A chung, góc ACF = góc ABE = 90° nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Từ đó ta có tỉ lệ: $$, suy ra AF.AB = AE.AC. - Góc AEF = góc ACB (hai góc so le trong) và góc ACB = góc ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) nên góc AEF = góc ABC. b/ Ta có: - Tam giác ADF và tam giác AEB có góc A chung, góc ADF = góc AEB = 90° nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Từ đó ta có tỉ lệ: $$. - Kết hợp với AF.AB = AE.AC (chứng minh ở phần a) ta có: $$. - Tam giác ADE và tam giác ACF có góc A chung, góc ADE = góc ACF = 90° nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Từ đó ta có tỉ lệ: $$. - Kết hợp với $$ ta có: $$. - Tam giác EBD và tam giác ECF có góc EBD = góc ECF (cùng phụ với góc BAC) và góc BED = góc CEF (hai góc so le trong) nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Từ đó ta có tỉ lệ: $$. - Kết hợp với $$ ta có: $$. - Tam giác EBD và tam giác ECF có góc EBD = góc ECF (cùng phụ với góc BAC) và góc BED = góc CEF (hai góc so le trong) nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Từ đó ta có tỉ lệ: $$. - Kết hợp với $$ ta có: $$. - Tam giác EDF và tam giác EFD có góc EDF = góc EFD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF) nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Từ đó ta có EB là phân giác của góc DEF. c/ Ta có: - Tam giác AKF và tam giác HKE có góc AFD = góc HEK (hai góc so le trong) và góc AKF = góc HKD (hai góc đối đỉnh) nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Từ đó ta có tỉ lệ: $$. - Kết hợp với $$ (chứng minh ở phần b) ta có: $$. - Từ đó ta có AK.HD = HK.AD.