Trên một đoạn đường thẳng, một xe máy chạy với tốc độ không đổi có chi phí nhiên liệu gồm hai phần: +) Phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ và mất 360 nghìn đồng/giờ; +) Phần thứ hai tỷ lệ thuận...

Gọi vận tốc của xe máy là $v$ (km/h) ($v > 0$). Thời gian để xe máy chạy 1 km là $\frac{1}{v}$ (giờ). Phần thứ hai của chi phí nhiên liệu tỷ lệ thuận với bình phương của vận tốc, tức là: \[ \text{Chi phí phần thứ hai} = k \cdot v^2 \] Biết rằng khi $v = 15$ (km/h), chi phí phần thứ hai là 90 nghìn đồng/giờ, ta có: \[ 90 = k \cdot 15^2 \] \[ 90 = k \cdot 225 \] \[ k = \frac{90}{225} = \frac{2}{5} \] Vậy chi phí phần thứ hai là: \[ \text{Chi phí phần thứ hai} = \frac{2}{5} v^2 \] Tổng chi phí nhiên liệu khi chạy 1 km là: \[ C(v) = \left( 360 + \frac{2}{5} v^2 \right) \cdot \frac{1}{v} \] \[ C(v) = \frac{360}{v} + \frac{2}{5} v \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của $C(v)$, ta tính đạo hàm của $C(v)$ và tìm điểm cực tiểu: \[ C'(v) = -\frac{360}{v^2} + \frac{2}{5} \] Đặt $C'(v) = 0$: \[ -\frac{360}{v^2} + \frac{2}{5} = 0 \] \[ \frac{2}{5} = \frac{360}{v^2} \] \[ v^2 = \frac{360 \times 5}{2} \] \[ v^2 = 900 \] \[ v = 30 \quad (\text{vì } v > 0) \] Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác nhận đây là điểm cực tiểu: \[ C''(v) = \frac{720}{v^3} \] Khi $v = 30$, ta có: \[ C''(30) = \frac{720}{30^3} = \frac{720}{27000} = \frac{8}{300} > 0 \] Vậy $v = 30$ là điểm cực tiểu của $C(v)$, tức là tổng chi phí nhiên liệu khi chạy 1 km là ít nhất khi vận tốc của xe máy là 30 km/h. Đáp số: 30 km/h.