phần trả lời ngắn

Câu 1. Đầu tiên, ta xác định góc giữa tia OA và tia OB. Vì tia OA và tia OB đều hợp với ba tia Ox, Oy, Oz các góc bằng nhau, nên góc giữa tia OA và tia OB là 90°. Tiếp theo, ta tính thời gian bay của máy bay A và máy bay B: - Máy bay A xuất phát lúc 6h và bay đến 6h30', tức là bay trong 30 phút = 0,5 giờ. - Máy bay B xuất phát lúc 6h10' và bay đến 6h30', tức là bay trong 20 phút = $$ giờ. Bây giờ, ta tính quãng đường mà mỗi máy bay đã bay: - Quãng đường máy bay A đã bay là: 800 km/h × 0,5 giờ = 400 km. - Quãng đường máy bay B đã bay là: 900 km/h × $$ giờ = 300 km. Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tìm khoảng cách giữa hai máy bay A và B: $$ Trong đó, OA = 400 km, OB = 300 km và góc θ = 90°. Vì cos(90°) = 0, nên công thức trên trở thành: $$ $$ $$ $$ Vậy khoảng cách giữa hai máy bay A và B lúc 6h30' là 500 km. Câu 2. Để tính xác suất chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn bóng đá hoặc bóng bàn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số học sinh được phỏng vấn: Tổng số học sinh được phỏng vấn là 30. 2. Xác định số học sinh thích ít nhất một trong hai môn bóng đá hoặc bóng bàn: - Số học sinh thích môn bóng đá là 19. - Số học sinh thích môn bóng bàn là 17. - Số học sinh thích cả hai môn bóng đá và bóng bàn là 15. Ta áp dụng công thức tính số phần tử của tập hợp hợp: Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn bóng đá hoặc bóng bàn là: $$ $$ 3. Tính xác suất: Xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn bóng đá hoặc bóng bàn là: $$ Vậy xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn bóng đá hoặc bóng bàn là $$. Câu 3. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm O của đáy ABCD: - Vì ABCD là hình vuông nên tâm O của đáy là giao điểm của các đường chéo AC và BD. 2. Tính khoảng cách từ O đến AB và SD: - Ta biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm trên một đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại. - Xét hình chóp S.ABCD, ta thấy SD nằm trong mặt phẳng SAD và AB nằm trong mặt phằng ABCD. Do đó, khoảng cách giữa AB và SD sẽ bằng khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SAB. 3. Tính diện tích tam giác SAB: - Tam giác SAB là tam giác đều với cạnh bằng 3. - Diện tích tam giác SAB là: $$ 4. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAB: - Ta cần tính thể tích của khối chóp SABD. - Thể tích khối chóp SABD là: $$ - Trong đó, $$ là khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAB. - Mặt khác, thể tích khối chóp SABD cũng có thể tính qua đáy SAB và chiều cao hạ từ D: $$ - Diện tích tam giác ABD là: $$ - Chiều cao SO của hình chóp S.ABCD là: $$ - Vậy thể tích khối chóp SABD là: $$ - Từ đó suy ra: $$ $$ 5. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là: $$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là khoảng 1.20 (đơn vị). Câu 4. Để tính xác suất để bạn Hiền và bạn Hòa thi buổi thứ ba trùng đúng một môn thi trong cùng một khung giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 2 môn cho mỗi bạn: - Bạn Hiền có 6 môn để chọn, số cách chọn 2 môn từ 6 môn là: $$ - Bạn Hòa có 5 môn để chọn, số cách chọn 2 môn từ 5 môn là: $$ 2. Tìm số cách chọn sao cho hai bạn trùng đúng một môn: - Các môn chung giữa hai nhóm của bạn Hiền và bạn Hòa là: Sử, Anh. - Ta xét từng trường hợp: - Nếu bạn Hiền chọn Sử, bạn Hòa cũng chọn Sử: + Số cách chọn thêm 1 môn nữa cho bạn Hiền từ 5 môn còn lại là $$. + Số cách chọn thêm 1 môn nữa cho bạn Hòa từ 4 môn còn lại là $$. + Tổng số cách trong trường hợp này là $$. - Nếu bạn Hiền chọn Anh, bạn Hòa cũng chọn Anh: + Số cách chọn thêm 1 môn nữa cho bạn Hiền từ 5 môn còn lại là $$. + Số cách chọn thêm 1 môn nữa cho bạn Hòa từ 4 môn còn lại là $$. + Tổng số cách trong trường hợp này là $$. Vậy tổng số cách chọn sao cho hai bạn trùng đúng một môn là: $$ 3. Tính xác suất: - Tổng số cách chọn 2 môn cho mỗi bạn là $$. - Xác suất để bạn Hiền và bạn Hòa thi buổi thứ ba trùng đúng một môn thi trong cùng một khung giờ là: $$ 4. Tính $$: - Trong phân số tối giản $$, ta có $$ và $$. - Vậy $$. Đáp số: $$. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa thời gian di chuyển bằng cách kết hợp cả hai loại đường: sa mạc và đường nhựa. Chúng ta sẽ tìm điểm C trên đường nhựa sao cho tổng thời gian di chuyển từ A đến C và từ C đến B là ngắn nhất. Bước 1: Xác định các đại lượng và vẽ sơ đồ. - Điểm A và B cách nhau 70 km. - Đường nhựa cách AB một đoạn 10 km. - Vận tốc trên sa mạc là 30 km/h. - Vận tốc trên đường nhựa là 50 km/h. Bước 2: Gọi khoảng cách từ A đến C là x (km). - Khoảng cách từ C đến B sẽ là 70 - x (km). Bước 3: Tính thời gian di chuyển trên sa mạc và đường nhựa. - Thời gian di chuyển từ A đến C trên sa mạc là $$ (giờ). - Thời gian di chuyển từ C đến B trên đường nhựa là $$ (giờ). Bước 4: Tính tổng thời gian di chuyển. Tổng thời gian di chuyển là: $$ Bước 5: Đơn giản hóa biểu thức tổng thời gian. $$ Bước 6: Tìm giá trị x tối ưu để tổng thời gian di chuyển ngắn nhất. Để tìm giá trị x tối ưu, chúng ta sẽ tính đạo hàm của t(x) và tìm điểm cực tiểu. $$ Do đạo hàm là hằng số dương, hàm số t(x) là hàm số tăng liên tục. Do đó, để tổng thời gian di chuyển ngắn nhất, ta chọn x sao cho khoảng cách từ A đến C là nhỏ nhất nhưng vẫn đảm bảo thời gian di chuyển trên đường nhựa là lớn nhất. Bước 7: Kiểm tra các giới hạn của x. - Nếu x = 0, tức là đi toàn bộ quãng đường trên đường nhựa, thời gian di chuyển là: $$ - Nếu x = 70, tức là đi toàn bộ quãng đường trên sa mạc, thời gian di chuyển là: $$ Vì vậy, thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ A đến B là 84 phút khi đi toàn bộ quãng đường trên đường nhựa. Đáp số: 84 phút. Câu 6. Để tìm độ cao lớn nhất của chùm bóng bay, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $$ trong khoảng $$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $$: $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $$: $$ $$ $$ Bước 3: Kiểm tra giá trị của hàm số $$ tại các điểm cực trị và tại các biên của khoảng: - Tại $$: $$ - Tại $$: $$ - Tại $$: $$ Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: $$ $$ $$ Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là 4, đạt được khi $$. Vậy, chùm bóng bay đạt độ cao lớn nhất là 4 km. Đáp số: $$ km.