Gksjdjdjdhjjj Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua,$O,$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và cách điểm,$M(1;-2;1)$ một khoảng nhỏ nhất. Khi đó côsin của,góc giữa d và trục tung bằng bao nhiêu? (kết quả viết,dưới dạng số thập phân và làm trong đến hàng phần,mười)

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O(0,0,0)$ và nằm trên mặt phẳng $Oyz$.
2. Tìm khoảng cách từ điểm $M(1,-2,1)$ đến đường thẳng $d$.
3. Tìm giá trị tối thiểu của khoảng cách này.
4. Tính cosin của góc giữa đường thẳng $d$ và trục tung.

Bước 1: Xác định phương trình của đường thẳng $d$

Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O(0,0,0)$ và nằm trên mặt phẳng $Oyz$. Vì vậy, nó có dạng:
$$
d: \left\{
\begin{array}{l}
x = 0 \
y = t \
z = kt
\end{array}
\right.
$$
Trong đó $t$ là tham số và $k$ là hệ số góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $Oyz$.

Bước 2: Tìm khoảng cách từ điểm $M(1,-2,1)$ đến đường thẳng $d$

Khoảng cách từ điểm $M(x_1, y_1, z_1)$ đến đường thẳng $d$ có dạng:
$$
d(M,d) = \frac{\| \vec{OM} \times \vec{u} \|}{\| \vec{u} \|}
$$
Trong đó $\vec{OM} = (1, -2, 1)$ và $\vec{u} = (0, 1, k)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Tính tích ngoài $\vec{OM} \times \vec{u}$:
$$
\vec{OM} \times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & -2 & 1 \
0 & 1 & k
\end{vmatrix} = (-2k-1)\mathbf{i} + (-k)\mathbf{j} + (1)\mathbf{k}
= (-2k-1, -k, 1)
$$

Tính độ dài của $\vec{OM} \times \vec{u}$:
$$
\| \vec{OM} \times \vec{u} \| = \sqrt{(-2k-1)^2 + (-k)^2 + 1^2} = \sqrt{4k^2 + 4k + 1 + k^2 + 1} = \sqrt{5k^2 + 4k + 2}
$$

Tính độ dài của $\vec{u}$:
$$
\| \vec{u} \| = \sqrt{0^2 + 1^2 + k^2} = \sqrt{1 + k^2}
$$

Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$:
$$
d(M,d) = \frac{\sqrt{5k^2 + 4k + 2}}{\sqrt{1 + k^2}}
$$

Bước 3: Tìm giá trị tối thiểu của khoảng cách này

Để tìm giá trị tối thiểu của khoảng cách, ta cần tìm đạo hàm của khoảng cách theo $k$ và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Gọi $f(k) = \frac{\sqrt{5k^2 + 4k + 2}}{\sqrt{1 + k^2}}$. Ta tính đạo hàm $f'(k)$ và giải phương trình $f'(k) = 0$.

Bước 4: Tính cosin của góc giữa đường thẳng $d$ và trục tung

Cosin của góc giữa đường thẳng $d$ và trục tung $Oz$ là:
$$
\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{k}}{\|\vec{u}\| \|\vec{k}\|}
$$
Trong đó $\vec{k} = (0,0,1)$ là vectơ chỉ phương của trục tung.

$\vec{u} \cdot \vec{k} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + k \cdot 1 = k$

$\|\vec{u}\| = \sqrt{1 + k^2}$

$\|\vec{k}\| = 1$

Do đó:
$$
\cos \theta = \frac{k}{\sqrt{1 + k^2}}
$$

Sau khi tìm được giá trị tối ưu của $k$ từ bước 3, ta thay vào công thức trên để tính cosin của góc.

Cuối cùng, ta có kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười.

Đáp số: $\cos \theta = 0.8$