giúp tôi với

Câu 23. Để tính thể tích của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $$ và $$ và hai đường thẳng $$ và $$ quanh trục hoành, ta sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay. Công thức thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành là: $$ Trong đó: - $$ là bán kính ngoài, tương ứng với hàm số lớn hơn giữa $$ và $$. - $$ là bán kính trong, tương ứng với hàm số nhỏ hơn giữa $$ và $$. Giả sử rằng $$ trên đoạn $$, thì bán kính ngoài $$ và bán kính trong $$. Do đó, thể tích khối tròn xoay sẽ là: $$ Vậy đáp án đúng là: C. $$ Đáp án: C. $$ Câu 24. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $$, $$ và hai đường thẳng $$, $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Khoảng tích phân từ $$ đến $$. 2. Tìm hiệu giữa hai hàm số: - Hàm số trên là $$. - Hàm số dưới là $$. - Hiệu giữa hai hàm số là $$. 3. Lập biểu thức tính diện tích: - Diện tích $$ của hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số và hai đường thẳng là: $$ Do đó, đáp án đúng là: A. $$ Đáp án: A. $$ Câu 25. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $$, trục hoành và hai đường thẳng $$ và $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: Đồ thị cắt trục hoành khi $$: $$ Vậy, đồ thị cắt trục hoành tại $$ và $$. 2. Phân tích đoạn tích phân: Ta chia đoạn tích phân thành các đoạn nhỏ hơn để dễ dàng tính diện tích: - Từ $$ đến $$ - Từ $$ đến $$ 3. Tính diện tích từng đoạn: Diện tích từ $$ đến $$: $$ Vì $$ trên đoạn này, ta có: $$ Tính tích phân: $$ Diện tích từ $$ đến $$: $$ Vì $$ trên đoạn này, ta có: $$ Tính tích phân: $$ 4. Tổng diện tích: Tổng diện tích hình phẳng là: $$ Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $$, trục hoành và hai đường thẳng $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là: C. $$. Câu 26. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $$, trục hoành và hai đường thẳng $$ và $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân. - Cận dưới là $$. - Cận trên là $$. Bước 2: Tính tích phân của hàm số $$ từ $$ đến $$. $$ Bước 3: Tìm nguyên hàm của $$. $$ Bước 4: Áp dụng công thức Newton-Leibniz để tính giá trị của tích phân. $$ $$ Bước 5: Thay giá trị của $$ và $$ vào. $$ $$ Do đó: $$ $$ Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $$, trục hoành và hai đường thẳng $$ và $$ là $$. Đáp án đúng là: B. $$. Câu 27. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $$, trục tung và tiếp tuyến của (P) tại điểm $$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm $$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $$ tại điểm $$ là: $$ Trước tiên, tính đạo hàm của $$: $$ Tại điểm $$, ta có: $$ Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm $$ là: $$ $$ Bước 2: Xác định các giới hạn của tích phân. Hình phẳng giới hạn bởi trục tung ($$), parabol $$ và tiếp tuyến. Ta cần tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành để xác định giới hạn trên của tích phân. Giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành: $$ $$ Do đó, giới hạn dưới là $$ và giới hạn trên là $$. Bước 3: Tính diện tích hình phẳng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $$ và $$ từ $$ đến $$ là: $$ Trong trường hợp này, ta có: $$ $$ Diện tích hình phẳng là: $$ $$ $$ Tính tích phân: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vì diện tích là giá trị dương, ta lấy giá trị tuyệt đối: $$ Vậy diện tích hình phẳng là $$. Đáp án đúng là: C. $$. Câu 28. Để tìm thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $$ và trục hoành quanh trục hoành, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: Đồ thị $$ cắt trục hoành tại các điểm $$ sao cho $$: $$ Vậy, giao điểm là $$ và $$. 2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích $$ của khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $$, trục hoành và hai đường thẳng $$ và $$ quanh trục hoành được tính bằng: $$ Trong trường hợp này, $$, $$, và $$. Do đó: $$ 3. Tính tích phân: Ta có: $$ Vậy: $$ Tính từng phần: $$ $$ $$ Kết hợp lại: $$ Chuyển về cùng mẫu số: $$ $$ Vậy, thể tích của khối tròn xoay là $$. Đáp án đúng là: D. $$. Câu 29. Để tính thể tích của vật thể, ta sẽ sử dụng phương pháp cắt vật thể thành các lát mỏng và tính tổng thể tích của các lát này. 1. Xác định diện tích mặt cắt: Mặt cắt của vật thể là một hình vuông có cạnh bằng $$. Diện tích của hình vuông này là: $$ 2. Tính thể tích: Ta sẽ tích phân diện tích mặt cắt dọc theo trục Ox từ $$ đến $$ để tìm thể tích của vật thể: $$ 3. Tính tích phân: Ta chia tích phân thành hai phần: $$ Tính từng phần riêng lẻ: $$ $$ Kết hợp lại: $$ Vậy thể tích của vật thể là $$. Đáp án đúng là: C. $$ Câu 30. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính diện tích $$ và $$ dựa trên các giới hạn đã cho và sử dụng mối liên hệ giữa chúng để tìm $$. Bước 1: Tính diện tích $$ Diện tích $$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $$: $$ Tích phân của $$ từ 0 đến $$ là: $$ Bước 2: Tính diện tích $$ Diện tích $$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $$: $$ Tích phân của $$ từ 0 đến $$ là: $$ Bước 3: Áp dụng điều kiện $$ Theo đề bài, ta có: $$ Thay $$ vào: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Bước 4: Tìm $$ dựa trên $$ Biết rằng $$, ta cần tìm $$ sao cho $$ thỏa mãn điều kiện đã cho. Ta có: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Bước 5: Tính $$ $$ Vậy đáp án đúng là: A. $$. Câu 1. a) Nếu $$ là một nguyên hàm của $$ thì $$. Do đó, $$. Đúng. b) Ta kiểm tra xem $$ có phải là một nguyên hàm của $$ hay không bằng cách tính đạo hàm của $$: $$ Vậy $$ là một nguyên hàm của $$. Đúng. c) Giả sử $$ là một nguyên hàm của $$, tức là $$. Ta có thể viết $$ dưới dạng: $$ trong đó $$ là hằng số. Biết rằng $$, ta thay vào để tìm $$: $$ $$ $$ $$ Do đó, $$. Bây giờ, ta tính $$: $$ Vậy $$. Đúng. d) Nếu $$ là một nguyên hàm của $$, tức là $$. Ta cần kiểm tra xem $$ có phải là một nguyên hàm của $$ hay không. Ta tính đạo hàm của $$: $$ Như vậy, $$ không phải là một nguyên hàm của $$ mà là một nguyên hàm của $$. Sai. Kết luận: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo từng bước. a) $$ Ta biết rằng $$, do đó: $$ Vậy, phần a đúng. b) $$ Ta sử dụng công thức $$: $$ Do đó: $$ Tích phân: $$ $$ $$ $$ Vậy, phần b sai. c) $$ Tích phân từng phần: $$ $$ Do đó: $$ Vậy, phần c sai. d) $$ Biết rằng $$, tức là $$. Điều này không cung cấp thông tin hữu ích để đơn giản hóa tích phân trên. Do đó, phần d sai. Kết luận: Chỉ có phần a đúng. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một. a) $$ Ta biết rằng $$. Do đó: $$ Phương án a) sai vì nó đưa ra $$ nhưng lại viết là $$. b) $$ Ta tính từng phần: $$ $$ Do đó: $$ Phương án b) đúng. c) $$ Ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần hoặc nhận thấy rằng: $$ Phương án c) đúng. d) Nếu $$ là một nguyên hàm của $$, tức là $$, thì: $$ Phương án d) sai vì nó đưa ra $$. Kết luận: - Phương án a) sai. - Phương án b) đúng. - Phương án c) đúng. - Phương án d) sai. Vậy đáp án đúng là b) và c). Câu 4. a) Trên khoảng $$, ta có $$. Một nguyên hàm của $$ là $$, trong đó $$ là hằng số. Do đó, $$ là một nguyên hàm của $$ trên khoảng $$. b) Trên khoảng $$, ta có $$. Một nguyên hàm của $$ là $$, trong đó $$ là hằng số. Do đó, $$ là một nguyên hàm của $$ trên khoảng $$. c) Giả sử $$ là một nguyên hàm của $$ và $$. Trên khoảng $$, ta có $$. Từ $$, ta có $$. Do đó, $$. Vậy $$. d) Giả sử $$ là một nguyên hàm của $$ và $$. Trên khoảng $$, ta có $$. Từ $$, ta có $$. Do đó, $$. Vậy $$ và $$. Do đó, $$. Đáp án đúng là: a, b, c, d.