Giải hộ mình câu này với các bạn 18. Chứng minh rằng phương trình Pell:,$x^2-61y^2=1$,có vô hạn nghiệm nguyên.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh phương trình Pell $x^2 - 61y^2 = 1$ có vô hạn nghiệm nguyên, ta sẽ sử dụng phương pháp tìm nghiệm cơ bản và sau đó nhân lên để tạo ra các nghiệm mới.

Bước 1: Tìm nghiệm cơ bản
Ta cần tìm cặp số nguyên $(x_1, y_1)$ sao cho:
$$ x_1^2 - 61y_1^2 = 1 $$

Sau khi thử nghiệm, ta tìm được nghiệm cơ bản là $(x_1, y_1) = (1766319049, 226153980)$.

Bước 2: Xây dựng các nghiệm mới từ nghiệm cơ bản
Giả sử $(x_n, y_n)$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 61y^2 = 1$. Ta sẽ xây dựng nghiệm mới $(x_{n+1}, y_{n+1})$ từ $(x_n, y_n)$ theo công thức:
$$ x_{n+1} + y_{n+1}\sqrt{61} = (x_n + y_n\sqrt{61})(1766319049 + 226153980\sqrt{61}) $$

Bước 3: Kiểm tra tính đúng đắn của công thức
Ta cần kiểm tra rằng $(x_{n+1}, y_{n+1})$ cũng là nghiệm của phương trình $x^2 - 61y^2 = 1$:
$$ (x_{n+1} + y_{n+1}\sqrt{61})(x_{n+1} - y_{n+1}\sqrt{61}) = (x_n + y_n\sqrt{61})(x_n - y_n\sqrt{61})(1766319049 + 226153980\sqrt{61})(1766319049 - 226153980\sqrt{61}) $$
$$ = (x_n^2 - 61y_n^2)(1766319049^2 - 61 \cdot 226153980^2) $$
$$ = 1 \cdot 1 = 1 $$

Do đó, $(x_{n+1}, y_{n+1})$ cũng là nghiệm của phương trình $x^2 - 61y^2 = 1$.

Bước 4: Kết luận
Vì ta có thể lặp lại quá trình trên để tạo ra các nghiệm mới từ nghiệm cơ bản, nên phương trình Pell $x^2 - 61y^2 = 1$ có vô hạn nghiệm nguyên.

Đáp số: Phương trình Pell $x^2 - 61y^2 = 1$ có vô hạn nghiệm nguyên.