Giup minh voi
Câu hỏi 21,Điền đáp án thích hợp vào ô trống,Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D''với $A(0,0,0),B(7;0;0),D(0,7;0),$,$A^\prime(0;0;7).$ Gọi K là trung điểm DD'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D có dạng $\frac7n,n\in\mathbb Z.$ Tìm giá trị,của n.,Đáp án:

Question

Giup minh voi
 Câu hỏi 21,Điền đáp án thích hợp vào ô trống,Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D''với $A(0,0,0),B(7;0;0),D(0,7;0),$,$A^\prime(0;0;7).$ Gọi K là trung điểm DD'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D có dạng $\frac7n,n\in\mathbb Z.$ Tìm giá trị,của n.,Đáp án:

Accepted Answer

Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $CK$ và $A'D$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ các điểm liên quan:
   - $A(0,0,0)$
   - $B(7,0,0)$
   - $D(0,7,0)$
   - $A'(0,0,7)$
   - $D'(0,7,7)$

Vì $K$ là trung điểm của $DD'$, tọa độ của $K$ là:
   $$
   K = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{7+7}{2}, \frac{0+7}{2} \right) = (0, 7, 3.5)
   $$

2. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
   - Đường thẳng $CK$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{CK}$:
     $$
     \overrightarrow{CK} = K - C = (0, 7, 3.5) - (7, 7, 0) = (-7, 0, 3.5)
     $$
   - Đường thẳng $A'D$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A'D}$:
     $$
     \overrightarrow{A'D} = D - A' = (0, 7, 0) - (0, 0, 7) = (0, 7, -7)
     $$

3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $CK$ và $A'D$:
   - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng chứa $CK$ và $A'D$ là tích vector của $\overrightarrow{CK}$ và $\overrightarrow{A'D}$:
     $$
     \overrightarrow{n} = \overrightarrow{CK} \times \overrightarrow{A'D}
     $$
     Ta tính:
     $$
     \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     -7 & 0 & 3.5 \
     0 & 7 & -7
     \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-7) - 3.5 \cdot 7) - \mathbf{j}(-7 \cdot (-7) - 3.5 \cdot 0) + \mathbf{k}(-7 \cdot 7 - 0 \cdot 0)
     $$
     $$
     = \mathbf{i}(-24.5) - \mathbf{j}(49) + \mathbf{k}(-49)
     $$
     $$
     = (-24.5, -49, -49)
     $$

4. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng:
   - Chọn điểm $C(7, 7, 0)$ trên đường thẳng $CK$ và điểm $A'(0, 0, 7)$ trên đường thẳng $A'D$.
   - Vectơ $\overrightarrow{CA'}$ là:
     $$
     \overrightarrow{CA'} = A' - C = (0, 0, 7) - (7, 7, 0) = (-7, -7, 7)
     $$
   - Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng là:
     $$
     d = \frac{|\overrightarrow{CA'} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}
     $$
     Ta tính:
     $$
     \overrightarrow{CA'} \cdot \overrightarrow{n} = (-7, -7, 7) \cdot (-24.5, -49, -49) = (-7) \cdot (-24.5) + (-7) \cdot (-49) + 7 \cdot (-49)
     $$
     $$
     = 171.5 + 343 - 343 = 171.5
     $$
     $$
     |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-24.5)^2 + (-49)^2 + (-49)^2} = \sqrt{600.25 + 2401 + 2401} = \sqrt{5402.25} = 73.5
     $$
     $$
     d = \frac{171.5}{73.5} = \frac{7}{3}
     $$

Vậy giá trị của $n$ là 3.

Đáp án: $n = 3$.