giải bài tập

Câu 1. Để tính \( J = \int_{0}^{2} [4f(x) - 3] \, dx \), ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách biểu thức trong dấu tích phân thành hai phần riêng biệt. Bước 1: Tách biểu thức trong dấu tích phân: \[ J = \int_{0}^{2} [4f(x) - 3] \, dx = \int_{0}^{2} 4f(x) \, dx - \int_{0}^{2} 3 \, dx \] Bước 2: Tính từng phần riêng biệt: - Tích phân của \( 4f(x) \): \[ \int_{0}^{2} 4f(x) \, dx = 4 \int_{0}^{2} f(x) \, dx \] Ta biết rằng \( I = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 3 \), do đó: \[ 4 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4 \times 3 = 12 \] - Tích phân của hằng số 3: \[ \int_{0}^{2} 3 \, dx = 3 \int_{0}^{2} 1 \, dx = 3 \left[ x \right]_{0}^{2} = 3 (2 - 0) = 6 \] Bước 3: Kết hợp kết quả của hai tích phân: \[ J = 12 - 6 = 6 \] Vậy, \( J = 6 \). Đáp án đúng là: B. 6. Câu 2. Để tính tích phân \( I = \int_{-1}^{2} [f(x) + 2x] \, dx \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách tích phân thành hai phần: \[ I = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx + \int_{-1}^{2} 2x \, dx \] Bước 2: Tính tích phân đầu tiên: \[ \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(-1) \] Với \( F(2) = 4 \) và \( F(-1) = 1 \): \[ \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 4 - 1 = 3 \] Bước 3: Tính tích phân thứ hai: \[ \int_{-1}^{2} 2x \, dx \] Ta có: \[ \int 2x \, dx = x^2 + C \] Do đó: \[ \int_{-1}^{2} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{-1}^{2} = 2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 \] Bước 4: Cộng hai kết quả lại: \[ I = 3 + 3 = 6 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = 6 \) Đáp số: \( I = 6 \) Câu 3. Để tính tích phân $\int^1_0 f(x) dx$, ta cần xem xét hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0, 1]$. Trên đoạn này, hàm số được định nghĩa là: \[ f(x) = \frac{2}{x + 1} \] Do đó, tích phân cần tính là: \[ \int^1_0 \frac{2}{x + 1} \, dx \] Ta thực hiện phép tính tích phân này: \[ \int^1_0 \frac{2}{x + 1} \, dx = 2 \int^1_0 \frac{1}{x + 1} \, dx \] Phép tích phân cơ bản của $\frac{1}{x + 1}$ là $\ln|x + 1|$. Do đó: \[ 2 \int^1_0 \frac{1}{x + 1} \, dx = 2 \left[ \ln|x + 1| \right]^1_0 \] Áp dụng cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ 2 \left( \ln|1 + 1| - \ln|0 + 1| \right) = 2 \left( \ln 2 - \ln 1 \right) \] Vì $\ln 1 = 0$, ta có: \[ 2 \left( \ln 2 - 0 \right) = 2 \ln 2 \] Vậy tích phân $\int^1_0 f(x) \, dx$ là: \[ 2 \ln 2 \] Do đó, đáp án đúng là: D. $2 + 2 \ln 2$. Câu 4. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^4 - 5x^2 + 4 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định khoảng tích phân - Ta cần tính diện tích từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). Bước 2: Tính tích phân của hàm số \( y = x^4 - 5x^2 + 4 \) trong khoảng từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). \[ S = \int_{0}^{1} (x^4 - 5x^2 + 4) \, dx \] Bước 3: Tính từng phần của tích phân \[ \int_{0}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5} \] \[ \int_{0}^{1} (-5x^2) \, dx = -5 \int_{0}^{1} x^2 \, dx = -5 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = -5 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = -5 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} \] \[ \int_{0}^{1} 4 \, dx = 4 \int_{0}^{1} 1 \, dx = 4 \left[ x \right]_{0}^{1} = 4 (1 - 0) = 4 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại \[ S = \frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 4 \] Chuyển tất cả về cùng mẫu số chung là 15: \[ S = \frac{3}{15} - \frac{25}{15} + \frac{60}{15} = \frac{3 - 25 + 60}{15} = \frac{38}{15} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^4 - 5x^2 + 4 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 1 \) là \( \frac{38}{15} \). Đáp án đúng là: D. \( \frac{38}{15} \). Câu 5. Để tìm diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục Ox, chúng ta cần tính diện tích của các phần hình phẳng nằm phía trên và phía dưới trục Ox riêng biệt, sau đó cộng lại. 1. Phần hình phẳng nằm phía trên trục Ox: - Diện tích này được giới hạn bởi đoạn từ $x = -2$ đến $x = 1$. - Diện tích này được tính bằng tích phân $\int_{-2}^{1} f(x) \, dx$. 2. Phần hình phẳng nằm phía dưới trục Ox: - Diện tích này được giới hạn bởi đoạn từ $x = 1$ đến $x = 3$. - Diện tích này được tính bằng tích phân $\left| \int_{1}^{3} f(x) \, dx \right|$. Do đó, tổng diện tích S sẽ là: \[ S = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx + \left| \int_{1}^{3} f(x) \, dx \right| \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chúng ta thấy rằng: - A. $S = |\int_{2}^{3} f(x) \, dx|$ - B. $S = \int_{-2}^{3} f(x) \, dx$ - C. $S = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx$ - D. $S = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx$ Trong đó, lựa chọn D gần đúng với công thức chúng ta đã suy ra, nhưng cần lưu ý rằng tích phân từ $x = 1$ đến $x = 3$ phải là giá trị tuyệt đối để đảm bảo diện tích luôn dương. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D. \, S = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx} \]