Giúp mình với!

Bài I 1) Lập bảng tần số cho dữ liệu trên: | Số lượt khách | Tần số | |--------------|--------| | 10 | 5 | | 11 | 5 | | 12 | 5 | | 13 | 5 | | 14 | 3 | | 15 | 4 | 2) Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng mô tả dữ liệu trên: Để vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng, ta thực hiện các bước sau: - Xác định khoảng cách giữa các giá trị trên trục hoành (các số lượt khách). - Xác định khoảng cách giữa các giá trị trên trục tung (tần số). - Vẽ các đoạn thẳng từ trục hoành lên đến giá trị tương ứng của tần số. Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng: Tần số | 6 | | 5 | | 4 | | 3 | | 2 | | 1 | | 0 |----|----|----|----|----|----| 10 11 12 13 14 15 Số lượt khách Trên đây là biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng mô tả số lượt khách hàng trong các ngày làm việc của tháng 8. Bài II 1. Tính giá trị của biểu thức A khi $x=4.$ Thay $x=4$ vào biểu thức $A$, ta được: \[ A = \frac{3}{\sqrt{4} - 1} = \frac{3}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 \] 2. Rút gọn biểu thức $P = B - A$. Điều kiện xác định: $x \geq 0, x \neq 1$. Ta có: \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{6}{x - 1} \] \[ A = \frac{3}{\sqrt{x} - 1} \] Rút gọn biểu thức $P$: \[ P = B - A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{6}{x - 1} \right) - \frac{3}{\sqrt{x} - 1} \] Quy đồng mẫu số chung: \[ P = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) + 6 (\sqrt{x} - 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} - \frac{3 (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ P = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) + 6 (\sqrt{x} - 1) - 3 (\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ P = \frac{x - \sqrt{x} + 6\sqrt{x} - 6 - 3\sqrt{x} - 3}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ P = \frac{x + 2\sqrt{x} - 9}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$, ta xét: \[ P = \frac{x + 2\sqrt{x} - 9}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Chúng ta thấy rằng biểu thức này phức tạp để tìm giá trị nhỏ nhất trực tiếp. Ta sẽ sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị của $x$ để tìm giá trị nhỏ nhất. Chọn $x = 4$: \[ P = \frac{4 + 2\sqrt{4} - 9}{(4 - 1)(\sqrt{4} + 1)} = \frac{4 + 4 - 9}{3 \cdot 3} = \frac{-1}{9} = -\frac{1}{9} \] Chọn $x = 9$: \[ P = \frac{9 + 2\sqrt{9} - 9}{(9 - 1)(\sqrt{9} + 1)} = \frac{9 + 6 - 9}{8 \cdot 4} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16} \] Chọn $x = 16$: \[ P = \frac{16 + 2\sqrt{16} - 9}{(16 - 1)(\sqrt{16} + 1)} = \frac{16 + 8 - 9}{15 \cdot 5} = \frac{15}{75} = \frac{1}{5} \] Từ các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $-\frac{1}{9}$ khi $x = 4$. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $-\frac{1}{9}$, đạt được khi $x = 4$. Bài III 1. Gọi số khẩu trang công nhân đó phải may trong 1 giờ theo quy định là x (chiếc khẩu trang, điều kiện: x > 0). Thời gian quy định để may 120 chiếc khẩu trang là $\frac{120}{x}$ (giờ). Khi cải tiến kĩ thuật, mỗi giờ người đó may được x + 3 (chiếc khẩu trang). Thời gian thực tế để may 120 chiếc khẩu trang là $\frac{120}{x+3}$ (giờ). Theo đề bài, thời gian thực tế ít hơn thời gian quy định 2 giờ, ta có phương trình: \[ \frac{120}{x} - \frac{120}{x+3} = 2 \] Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{120(x+3) - 120x}{x(x+3)} = 2 \] \[ \frac{120x + 360 - 120x}{x(x+3)} = 2 \] \[ \frac{360}{x(x+3)} = 2 \] \[ 360 = 2x(x+3) \] \[ 360 = 2x^2 + 6x \] \[ 2x^2 + 6x - 360 = 0 \] \[ x^2 + 3x - 180 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 180}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm 27}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{và} \quad x = \frac{-30}{2} = -15 \] Vì x > 0, nên x = 12. Đáp số: 12 chiếc khẩu trang/giờ. 2. Gọi vận tốc riêng của canô là v (km/h). Vận tốc của canô khi đi xuôi dòng là v + 5 (km/h). Vận tốc của canô khi đi ngược dòng là v - 5 (km/h). Thời gian đi xuôi dòng là $\frac{40}{v+5}$ (giờ). Thời gian đi ngược dòng là $\frac{40}{v-5}$ (giờ). Tổng thời gian cả đi và về là 3 giờ 20 phút = 3,33 giờ, ta có phương trình: \[ \frac{40}{v+5} + \frac{40}{v-5} = 3,33 \] Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{40(v-5) + 40(v+5)}{(v+5)(v-5)} = 3,33 \] \[ \frac{40v - 200 + 40v + 200}{v^2 - 25} = 3,33 \] \[ \frac{80v}{v^2 - 25} = 3,33 \] \[ 80v = 3,33(v^2 - 25) \] \[ 80v = 3,33v^2 - 83,25 \] \[ 3,33v^2 - 80v - 83,25 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ v = \frac{80 \pm \sqrt{(-80)^2 + 4 \cdot 3,33 \cdot 83,25}}{2 \cdot 3,33} \] \[ v = \frac{80 \pm \sqrt{6400 + 1111,8}}{6,66} \] \[ v = \frac{80 \pm \sqrt{7511,8}}{6,66} \] \[ v = \frac{80 \pm 86,66}{6,66} \] Ta có hai nghiệm: \[ v = \frac{166,66}{6,66} = 25 \quad \text{và} \quad v = \frac{-6,66}{6,66} = -1 \] Vì v > 0, nên v = 25. Đáp số: 25 km/h. 3. a. Phương trình $x^2 - 2(m-2)x + 3 - 2m = 0$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m nếu дискриминант больше или равен нулю. Дискриминант уравнения: \[ D = [2(m-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - 2m) \] \[ D = 4(m-2)^2 - 4(3 - 2m) \] \[ D = 4(m^2 - 4m + 4) - 12 + 8m \] \[ D = 4m^2 - 16m + 16 - 12 + 8m \] \[ D = 4m^2 - 8m + 4 \] \[ D = 4(m^2 - 2m + 1) \] \[ D = 4(m-1)^2 \] Так как $(m-1)^2 \geq 0$, то $D \geq 0$. Следовательно, уравнение всегда имеет решение для всех значений m. b. Условие $|x_1 - x_2| = 24$ означает, что разность между корнями уравнения равна 24. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, разность между корнями выражается через дискриминант: \[ |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} \] В нашем случае $a = 1$, поэтому: \[ 24 = \sqrt{4(m-1)^2} \] \[ 24 = 2|m-1| \] \[ 12 = |m-1| \] Решаем уравнение с модулем: \[ m - 1 = 12 \quad \text{или} \quad m - 1 = -12 \] \[ m = 13 \quad \text{или} \quad m = -11 \] Ответ: $m = 13$ или $m = -11$. Bài IV 1. Chiều cao của hình trụ là $h$, bán kính đáy của hình trụ là $r$. Ta có: $h=2r$ Thể tích của hình trụ là: $V=\pi r^2h$ Suy ra: $\pi r^2\times 2r=54\pi$ $r^3=27$ $r=3(cm)$ Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S=2\pi r(r+h)=2\times \pi \times 3\times (3+6)=54\pi (cm^2)$ Đáp số: $54\pi ~cm^2$ 2. a. Ta có: $\widehat{ADO}=\widehat{AMO}=90^\circ $ Nên bốn điểm A, D, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO. b. Ta có: $\widehat{ABE}=\widehat{AME}=90^\circ $ Nên bốn điểm A, B, M, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE. $\widehat{BAE}=\widehat{BME}$ (cùng chắn cung BE) $\widehat{BME}=\widehat{DMA}$ (hai góc so le trong) $\widehat{BAE}=\widehat{DMA}$ (vì $\widehat{BAE}=\widehat{BME})$ Xét tam giác ABE và tam giác DAM ta có: $\widehat{BAE}=\widehat{DMA}$ (chứng minh trên) $\widehat{AEB}=\widehat{AMD}=90^\circ $ Nên tam giác ABE đồng dạng với tam giác DAM (g-g) $\frac{AD}{AE}=\frac{AM}{AB}$ $AD\times AB=AM\times AE$ $AD\times BE=AM\times AE$ $AD\times BE=R^2$ c. Ta có: $\widehat{DAN}=\widehat{DBN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DN) $\widehat{DAN}=\widehat{DBN}=\widehat{BDN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) Nên tam giác AND là tam giác cân tại đỉnh A. Suy ra: D là trung điểm của NA. Bài V Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \( T = x + y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 + (x - y)^2 = 8 \), ta làm như sau: 1. Biến đổi điều kiện: Ta có: \[ x^2 + y^2 + (x - y)^2 = 8 \] Biến đổi: \[ x^2 + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 = 8 \] \[ 2x^2 + 2y^2 - 2xy = 8 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x^2 + y^2 - xy = 4 \] 2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Ta có: \[ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \] Biểu thức \( x^2 + y^2 - xy = 4 \) có thể viết lại thành: \[ x^2 + y^2 = 4 + xy \] Thay vào: \[ (x + y)^2 = 4 + xy + 2xy = 4 + 3xy \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ xy \leq \frac{(x + y)^2}{4} \] Thay vào: \[ (x + y)^2 \leq 4 + 3 \cdot \frac{(x + y)^2}{4} \] Nhân cả hai vế với 4: \[ 4(x + y)^2 \leq 16 + 3(x + y)^2 \] \[ (x + y)^2 \leq 16 \] Do đó: \[ x + y \leq 4 \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất: Ta thấy \( x^2 + y^2 - xy = 4 \) và \( x, y \geq 0 \). Để \( x + y \) nhỏ nhất, ta xét trường hợp \( x = 0 \) hoặc \( y = 0 \): - Nếu \( x = 0 \): \[ y^2 = 4 \implies y = 2 \] Vậy \( T = 0 + 2 = 2 \) - Nếu \( y = 0 \): \[ x^2 = 4 \implies x = 2 \] Vậy \( T = 2 + 0 = 2 \) Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( T \) là 2. 4. Kết luận: Giá trị lớn nhất của \( T \) là 4, đạt được khi \( x = y = 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \( T \) là 2, đạt được khi \( x = 0, y = 2 \) hoặc \( x = 2, y = 0 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của \( T \) là 4, đạt được khi \( x = y = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( T \) là 2, đạt được khi \( x = 0, y = 2 \) hoặc \( x = 2, y = 0 \).