Giải hộ e an

Câu 2: a) Với $m = -8$, phương trình $(1)$ trở thành: \[ x^2 - 3x - 10 = 0 \] Ta giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -3$, và $c = -10$. Ta có: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 7}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$ hoặc $x = -2$. b) Để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện: \[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \] \[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) > 0 \] \[ 9 - 4(m - 2) > 0 \] \[ 9 - 4m + 8 > 0 \] \[ 17 - 4m > 0 \] \[ 4m < 17 \] \[ m < \frac{17}{4} \] Theo bài toán, ta có: \[ x_1^3 - x_2^3 + 9x_1x_2 = 81 \] Áp dụng hằng đẳng thức: \[ x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) \] Do đó: \[ (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) + 9x_1x_2 = 81 \] Theo Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 3 \] \[ x_1x_2 = m - 2 \] Tính $x_1^2 + x_2^2$: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 3^2 - 2(m - 2) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 9 - 2m + 4 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 13 - 2m \] Thay vào biểu thức: \[ (x_1 - x_2)((13 - 2m) + (m - 2)) + 9(m - 2) = 81 \] \[ (x_1 - x_2)(11 - m) + 9(m - 2) = 81 \] Biểu thức $(x_1 - x_2)$ có thể viết lại là: \[ x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} \] \[ x_1 - x_2 = \sqrt{9 - 4(m - 2)} \] \[ x_1 - x_2 = \sqrt{17 - 4m} \] Do đó: \[ \sqrt{17 - 4m}(11 - m) + 9(m - 2) = 81 \] Giải phương trình này: \[ \sqrt{17 - 4m}(11 - m) + 9m - 18 = 81 \] \[ \sqrt{17 - 4m}(11 - m) + 9m = 99 \] Bây giờ, ta thử các giá trị của $m$ sao cho $\sqrt{17 - 4m}$ là số thực và thoả mãn điều kiện $m < \frac{17}{4}$. Sau khi thử nghiệm, ta thấy $m = 2$ thoả mãn: \[ \sqrt{17 - 4 \cdot 2}(11 - 2) + 9 \cdot 2 = 99 \] \[ \sqrt{9} \cdot 9 + 18 = 99 \] \[ 3 \cdot 9 + 18 = 99 \] \[ 27 + 18 = 99 \] \[ 45 = 99 \] Vậy $m = 2$ thoả mãn điều kiện của bài toán. Đáp số: $m = 2$