Từ một tâm bia hình vuông $A B C D$ có cạnh băng $M A^2=M B^2+M C^2$, người ta căt bó bôn tam giác cân bằng nhau là $A M B, R=3, C P D$ và $D Q A$. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất ?

Question

ula · Accepted Answer

Gọi cạnh đáy của mô hình là $x(\mathrm{~cm})$ với $x>0$. Ta có $A I=A O-I O=25 \sqrt{2}-\frac{x}{2}$.
Chiều cao của hình chóp $h=\sqrt{A I^2-O I^2}=\sqrt{\left(25 \sqrt{2}-\frac{x}{2} ight)^2-\left(\frac{x}{2} ight)^2}=\sqrt{1250-25 \sqrt{2} x}$.
Thể tích của khối chóp bằng $V=\frac{1}{3} \cdot x^2 \cdot \sqrt{1250-25 \sqrt{2} x}=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{1250 x^4-25 \sqrt{2} x^5}$. Điều kiện $1250-25 \sqrt{2} x>0 \Rightarrow x<25 \sqrt{2}$.

Xét hàm số $y=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{1250 x^4-25 \sqrt{2} x^5}$ với $0<x<25 \sqrt{2}$.
Ta có $y^{\prime}=\frac{1}{3} \cdot \frac{5000 x^3-125 \sqrt{2} x^4}{2 \sqrt{1250 x^4-25 \sqrt{2} x^3}}$.
Có $y^{\prime}=0 \Rightarrow 5000 x^3-125 \sqrt{2} x^4=0 \Rightarrow x=20 \sqrt{2}$.
Bảng biến thiên

\begin{equation}
ext { Vậy để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng } 20 \sqrt{2} \mathrm{~cm}=2 \sqrt{2} \mathrm{dm} ext {. }
\end{equation}

Timi · Answer

Gọi cạnh của hình vuông là $a$. Ta có diện tích toàn phần của khối chóp là:
$$ S_{\text{toàn phần}} = a^2 - 4 \times \left( \frac{1}{2} \times a \times h \right) = a^2 - 2ah $$
Trong đó, $h$ là chiều cao của mỗi tam giác cân $AMB$, $BNC$, $CPD$, $DQA$.

Diện tích đáy của khối chóp là:
$$ S_{\text{đáy}} = a^2 - 4 \times \left( \frac{1}{2} \times a \times h \right) = a^2 - 2ah $$

Chiều cao của khối chóp là:
$$ H = \sqrt{R^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2} = \sqrt{9 - \frac{a^2}{4}} $$

Thể tích của khối chóp là:
$$ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times H = \frac{1}{3} \times (a^2 - 2ah) \times \sqrt{9 - \frac{a^2}{4}} $$

Để tìm giá trị của $a$ sao cho thể tích $V$ là lớn nhất, ta tính đạo hàm của $V$ theo $a$ và tìm điểm cực đại.

$$ V(a) = \frac{1}{3} \times (a^2 - 2ah) \times \sqrt{9 - \frac{a^2}{4}} $$

Đạo hàm của $V$ theo $a$:
$$ V&#x27;(a) = \frac{1}{3} \left[ (2a - 2h) \sqrt{9 - \frac{a^2}{4}} + (a^2 - 2ah) \times \frac{-a}{2 \sqrt{9 - \frac{a^2}{4}}} \right] $$

Đặt $V&#x27;(a) = 0$ để tìm giá trị của $a$:
$$ (2a - 2h) \sqrt{9 - \frac{a^2}{4}} = (a^2 - 2ah) \times \frac{a}{2 \sqrt{9 - \frac{a^2}{4}}} $$

Giải phương trình này phức tạp, nhưng ta có thể nhận thấy rằng khi $a = 3$, thì $h = \frac{3}{2}$ và $\sqrt{9 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{9 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Do đó, thể tích của khối chóp sẽ lớn nhất khi $a = 3$.

Vậy cạnh đáy của khối chóp để thể tích của nó là lớn nhất là $a = 3$.

Từ một tâm bia hình vuông $A B C D$ có cạnh băng $M A^2=M B^2+M C^2$, người ta căt bó bôn tam giác cân bằng nhau là $A M B, R=3, C P D$ và $D Q A$. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thà...