Cho hình chóp $S . A B C$ có cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$, biết $S A=3$ và tam giác $S B C$ là tam giác đều có cạnh bằng 4 .
1) Tính số đo của góc giữa mặt phẳng $(S B C)$ và mặt phẳng $(A B C)$.
2) Cho điểm $I$ xác định bởi $2 \overrightarrow{I A}+3 \overrightarrow{I B}+4 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$. Xét mặt phẳng $(\alpha)$ thay đồi đi qua trung điểm của đoạn thẳng $S I$ và cắt các tia $S A, S B, S C$ lần lượt tại các điểm $M, N, P$ (với $M, N, P$ không trùng với $S$ ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{4}{S M^2}+\frac{9}{S N^2}+\frac{16}{S P^2}$.

Question

Tổng Tài Bá Đạo · Accepted Answer

1) Gọi $H$ là trung điểm $B C$, ta có $S H \perp B C, A H \perp B C$.

Suy ra góc giữa $(S B C)$ và $(A B C)$ là $\widehat{S H A}$.
Vì $ riangle S B C$ đều, có cạnh bằng 4 nên $S H=2 \sqrt{3}$.
Ta có $\sin \widehat{S H A}=\frac{S A}{S H}=\frac{3}{2 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \widehat{S H A}=60^{\circ}$.
Vậy $(\overline{(S B C}),(\overline{A B C}))=60^{\circ}$.

2) Đặt $\frac{2}{S M}=x, \frac{3}{S N}=y, \frac{4}{S P}=z$ với $x, y, z>0$. Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $S I$.

Ta có $2 \overrightarrow{I A}+3 \overrightarrow{I B}+4 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 18 \overrightarrow{S O}=2 \overrightarrow{S A}+3 \overrightarrow{S B}+4 \overrightarrow{S C}=2 \frac{S A}{S M} \overrightarrow{S M}+3 \frac{S B}{S N} \overrightarrow{S N}+4 \frac{S C}{S P} \overrightarrow{S P}$

$\Leftrightarrow 18 \overrightarrow{S O}=3 x \overrightarrow{S M}+4 y \overrightarrow{S N}+4 z \overrightarrow{S P}$
Vì bốn điểm $M, N, P, O$ đồng phẳng và các vectơ $\overrightarrow{S M}, \overrightarrow{S N}, \overrightarrow{S P}$ không đồng phẳng nên $3 x+4 y+4 z=18$
Khi đó $T=\frac{4}{S M^2}+\frac{9}{S N^2}+\frac{16}{S P^2}=x^2+y^2+z^2$.
Do $T=\frac{\left(x^2+y^2+z^2 ight)\left(3^2+4^2+4^2 ight)}{3^2+4^2+4^2} \geq \frac{(3 x+4 y+4 z)^2}{41}$.
Suy ra $T=\frac{4}{S M^2}+\frac{9}{S N^2}+\frac{16}{S P^2} \geq \frac{324}{41}$.
Vậy GTNN của $T$ bằng $\frac{324}{41}$ khi $x=\frac{54}{41}, y=\frac{72}{41}, z=\frac{72}{41}$.

Timi · Answer

1) Gọi $H$ là trung điểm của $B C$, ta có $S H \perp B C$ (dấu hiệu nhận biết tam giác đều). Mặt khác, do $S A \perp (A B C)$ nên $S A \perp B C$. Từ đó suy ra $B C \perp (S A H)$, do đó $B C \perp A H$. Vậy tam giác $A B C$ vuông tại $A$ với $A H$ là đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh huyền $B C$. 
Ta có $\angle(S B C ; (A B C)) = \angle(S H ; (A B C)) = \angle S H A$. 
Ta tính $S H = 2 \sqrt{3}$, $A H = \frac{3 	imes 4}{5} = \frac{12}{5}$, suy ra $	an \angle S H A = \frac{5}{4 \sqrt{3}}$. 
Vậy số đo góc giữa hai mặt phẳng là $\arctan \frac{5}{4 \sqrt{3}}$.
2) Ta có $2 \overrightarrow{I A} + 3 \overrightarrow{I B} + 4 \overrightarrow{I C} = \overrightarrow{0}$, suy ra $2 (\overrightarrow{I A} + \overrightarrow{I B} + \overrightarrow{I C}) + \overrightarrow{I B} + 2 \overrightarrow{I C} = \overrightarrow{0}$. 
Vậy $2 \overrightarrow{I G} + \overrightarrow{I B} + 2 \overrightarrow{I C} = \overrightarrow{0}$, suy ra $2 \overrightarrow{I G} + 2 \overrightarrow{I C} = - \overrightarrow{I B}$, suy ra $2 \overrightarrow{C G} = \overrightarrow{B G}$, suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $S B C$. 
Gọi $D$ là trung điểm của $S I$, ta có $\overrightarrow{D M} = k (\overrightarrow{D S} + \overrightarrow{D N} + \overrightarrow{D P})$, suy ra $\frac{1}{k} \overrightarrow{D M} + \overrightarrow{D S} + \overrightarrow{D N} + \overrightarrow{D P} = \overrightarrow{0}$. 
Vậy $\frac{1}{k} + 1 + \frac{S N^2}{S B^2} + \frac{S P^2}{S C^2} = 1$, suy ra $\frac{1}{k} + \frac{S N^2}{16} + \frac{S P^2}{16} = 0$. 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng lượng giác, ta có $T = \left( \frac{4}{S M^2} + \frac{9}{S N^2} + \frac{16}{S P^2} ight) \left( \frac{S M^2}{16} + \frac{S N^2}{16} + \frac{S P^2}{16} ight) \geqslant \frac{25}{16}$. 
Dấu bằng xảy ra khi $\frac{S M}{2} = \frac{S N}{3} = \frac{S P}{4}$.

Cho hình chóp $S . A B C$ có cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$, biết $S A=3$ và tam giác $S B C$ là tam giác đều có cạnh bằng 4 . 1) Tính số đo của góc giữa mặt phẳng $(S B C)$ và mặt ph...