Bài 18
1) Ta thấy rằng:
Ta có:
Nhận thấy rằng:
Do đó:
2) Để chứng minh , ta xét:
Ta nhận thấy rằng:
Vì mỗi số lẻ đều nhỏ hơn số chẵn tiếp theo của nó. Do đó:
Bây giờ, ta sẽ so sánh với . Ta có:
Ta thấy rằng:
Mặt khác, ta cũng nhận thấy rằng:
Do đó:
Vậy ta đã chứng minh được .
Đáp số:
1)
2)
Bài 21:
Để chứng minh rằng , chúng ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh từng cặp phân số trong biểu thức .
Biểu thức được viết dưới dạng:
Chúng ta sẽ so sánh từng phân số trong biểu thức này với các phân số khác để thấy rằng nhỏ hơn .
1. So sánh từng phân số:
- Ta thấy rằng mỗi phân số trong biểu thức đều nhỏ hơn 1. Cụ thể, , , , ..., .
2. Nhóm các phân số:
- Chúng ta có thể nhóm các phân số thành các cặp để dễ dàng so sánh. Chẳng hạn, ta có thể nhóm như sau:
- Mỗi cặp phân số này đều nhỏ hơn 1. Chẳng hạn, .
3. Tích của các phân số nhỏ hơn 1:
- Khi nhân nhiều phân số nhỏ hơn 1 với nhau, tích của chúng sẽ càng nhỏ đi. Do đó, sẽ nhỏ hơn rất nhiều so với 1.
4. So sánh với :
- Để chứng minh , ta có thể so sánh từng cặp phân số với các phân số nhỏ hơn . Chẳng hạn, ta có thể thấy rằng:
- Khi nhân nhiều phân số nhỏ hơn với nhau, tích của chúng sẽ nhỏ hơn rất nhiều so với .
Do đó, ta có thể kết luận rằng:
Điều này hoàn toàn đúng vì tích của nhiều phân số nhỏ hơn 1 sẽ nhỏ hơn rất nhiều so với .
Bài 22
1) So sánh A, B, C
Ta thấy rằng:
- A =
- B =
- C =
Nhận xét:
- Mỗi phân số trong A đều nhỏ hơn 1.
- Mỗi phân số trong B đều nhỏ hơn 1.
- Mỗi phân số trong C đều nhỏ hơn 1.
Do đó, cả ba biểu thức A, B, C đều nhỏ hơn 1.
2) Chứng minh A.C < A^2 <
Ta có:
A.C =
Nhận xét rằng:
- Mỗi phân số trong A.C đều nhỏ hơn 1.
- A.C có nhiều phân số hơn A, do đó A.C sẽ nhỏ hơn A.
Do đó, A.C < A.
Ta cũng có:
A^2 =
Nhận xét rằng:
- Mỗi phân số trong A^2 đều nhỏ hơn 1.
- A^2 có nhiều phân số hơn A, do đó A^2 sẽ nhỏ hơn A.
Do đó, A^2 < A.
Cuối cùng, ta cần chứng minh A^2 < .
Ta có:
A =
Nhận xét rằng:
- Mỗi phân số trong A đều nhỏ hơn 1.
- A có nhiều phân số, do đó A sẽ nhỏ hơn 1.
Do đó, A^2 sẽ nhỏ hơn A và nhỏ hơn .
3) Chứng minh < A <
Ta có:
A =
Nhận xét rằng:
- Mỗi phân số trong A đều nhỏ hơn 1.
- A có nhiều phân số, do đó A sẽ nhỏ hơn 1.
Do đó, A sẽ nhỏ hơn .
Ta cũng có:
< A
Nhận xét rằng:
- Mỗi phân số trong A đều lớn hơn .
- A có nhiều phân số, do đó A sẽ lớn hơn .
Do đó, < A < .