Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau,$a)~\sqrt{(3-\sqrt{10})^2}$,%,$b)~\sqrt{9-4\sqrt5}$

Question

Accepted Answer

Bài 2:
a) Ta có:
$$ 
\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2} = |3 - \sqrt{10}| 
$$
Ta so sánh $3$ và $\sqrt{10}$:
$$ 
3^2 = 9 \quad \text{và} \quad (\sqrt{10})^2 = 10 
$$
Vì $9 < 10$, nên $3 < \sqrt{10}$. Do đó:
$$ 
|3 - \sqrt{10}| = \sqrt{10} - 3 
$$
Vậy:
$$ 
\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2} = \sqrt{10} - 3 
$$

b) Ta có:
$$ 
\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} 
$$
Ta sẽ tìm hai số $a$ và $b$ sao cho:
$$ 
9 - 4\sqrt{5} = (a - b\sqrt{5})^2 
$$
Phát triển vế phải:
$$ 
(a - b\sqrt{5})^2 = a^2 + 5b^2 - 2ab\sqrt{5} 
$$
So sánh với $9 - 4\sqrt{5}$, ta có:
$$ 
a^2 + 5b^2 = 9 \quad \text{và} \quad -2ab = -4 
$$
Từ $-2ab = -4$, ta có:
$$ 
ab = 2 
$$
Giải hệ phương trình:
$$ 
\begin{cases}
a^2 + 5b^2 = 9 \
ab = 2
\end{cases}
$$
Từ $ab = 2$, ta có $a = \frac{2}{b}$. Thay vào phương trình đầu tiên:
$$ 
\left(\frac{2}{b}\right)^2 + 5b^2 = 9 
$$
$$ 
\frac{4}{b^2} + 5b^2 = 9 
$$
Nhân cả hai vế với $b^2$:
$$ 
4 + 5b^4 = 9b^2 
$$
$$ 
5b^4 - 9b^2 + 4 = 0 
$$
Đặt $x = b^2$, ta có phương trình bậc hai:
$$ 
5x^2 - 9x + 4 = 0 
$$
Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:
$$ 
x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{10} = \frac{9 \pm 1}{10} 
$$
$$ 
x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4}{5} 
$$
Với $x = 1$, ta có $b^2 = 1$ suy ra $b = 1$ hoặc $b = -1$.

Với $b = 1$, ta có $a = 2$. Với $b = -1$, ta có $a = -2$.

Vậy:
$$ 
9 - 4\sqrt{5} = (2 - \sqrt{5})^2 
$$
Do đó:
$$ 
\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = |2 - \sqrt{5}| 
$$
Ta so sánh $2$ và $\sqrt{5}$:
$$ 
2^2 = 4 \quad \text{và} \quad (\sqrt{5})^2 = 5 
$$
Vì $4 < 5$, nên $2 < \sqrt{5}$. Do đó:
$$ 
|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2 
$$
Vậy:
$$ 
\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2 
$$

Đáp số:
a) $\sqrt{10} - 3$
b) $\sqrt{5} - 2$