Trong không gian Oxyz. Khinh khí cầu thứ nhất đang di chuyển từ vị trí B đến vị trí C và
khinh khí cầu thứ hai đang ở vị trí A với A( − 1; 4; − 2), B( − 6; 4; − 4), C( − 4; 0; − 2). Biết rằng
khi hai khinh khí cầu gần nhau nhất thì khinh cầu thứ nhất đang ở vị trị K(a; b; c). Giá trị của
24(a + b + c) bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm điểm K trên đoạn thẳng BC sao cho khoảng cách từ điểm A đến điểm K là nhỏ nhất.

Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng BC.
- Điểm B(-6, 4, -4) và điểm C(-4, 0, -2).
- Vector BC = (-4 - (-6), 0 - 4, -2 - (-4)) = (2, -4, 2).

Phương trình tham số của đường thẳng BC:
$$ 
\begin{cases}
x = -6 + 2t \
y = 4 - 4t \
z = -4 + 2t
\end{cases}
$$

Bước 2: Xác định khoảng cách từ điểm A đến điểm K trên đường thẳng BC.
- Điểm K trên đường thẳng BC có tọa độ: K(-6 + 2t, 4 - 4t, -4 + 2t).
- Khoảng cách từ A(-1, 4, -2) đến K(-6 + 2t, 4 - 4t, -4 + 2t):
$$ 
d(A, K) = \sqrt{((-6 + 2t) - (-1))^2 + ((4 - 4t) - 4)^2 + ((-4 + 2t) - (-2))^2} 
$$
$$ 
= \sqrt{(2t - 5)^2 + (-4t)^2 + (2t - 2)^2} 
$$
$$ 
= \sqrt{(2t - 5)^2 + 16t^2 + (2t - 2)^2} 
$$
$$ 
= \sqrt{4t^2 - 20t + 25 + 16t^2 + 4t^2 - 8t + 4} 
$$
$$ 
= \sqrt{24t^2 - 28t + 29} 
$$

Bước 3: Tìm giá trị của t để khoảng cách d(A, K) nhỏ nhất.
- Để khoảng cách nhỏ nhất, ta tìm đạo hàm của $d(A, K)$ theo t và đặt nó bằng 0.
$$ 
f(t) = 24t^2 - 28t + 29 
$$
$$ 
f'(t) = 48t - 28 
$$
$$ 
48t - 28 = 0 
$$
$$ 
t = \frac{28}{48} = \frac{7}{12} 
$$

Bước 4: Thay t = $\frac{7}{12}$ vào phương trình tham số của đường thẳng BC để tìm tọa độ của điểm K.
$$ 
x = -6 + 2 \cdot \frac{7}{12} = -6 + \frac{14}{12} = -6 + \frac{7}{6} = -\frac{36}{6} + \frac{7}{6} = -\frac{29}{6} 
$$
$$ 
y = 4 - 4 \cdot \frac{7}{12} = 4 - \frac{28}{12} = 4 - \frac{7}{3} = \frac{12}{3} - \frac{7}{3} = \frac{5}{3} 
$$
$$ 
z = -4 + 2 \cdot \frac{7}{12} = -4 + \frac{14}{12} = -4 + \frac{7}{6} = -\frac{24}{6} + \frac{7}{6} = -\frac{17}{6} 
$$

Tọa độ của điểm K là $\left( -\frac{29}{6}, \frac{5}{3}, -\frac{17}{6} \right)$.

Bước 5: Tính giá trị của 24(a + b + c).
$$ 
a + b + c = -\frac{29}{6} + \frac{5}{3} - \frac{17}{6} 
$$
$$ 
= -\frac{29}{6} + \frac{10}{6} - \frac{17}{6} 
$$
$$ 
= -\frac{29 + 17 - 10}{6} 
$$
$$ 
= -\frac{36}{6} 
$$
$$ 
= -6 
$$

Do đó:
$$ 
24(a + b + c) = 24 \times (-6) = -144 
$$

Đáp số: $-144$

Trong không gian Oxyz. Khinh khí cầu thứ nhất đang di chuyển từ vị trí B đến vị trí C và khinh khí cầu thứ hai đang ở vị trí A với A( − 1; 4; − 2), B( − 6; 4; − 4), C( − 4; 0; − 2). Biết rằng khi hai k...