giải giúp mình với

Câu 41: Độ dài trục lớn của elip (E) là 2a = 6, suy ra a = 3. Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là $\frac{c}{a} = \frac{1}{3}$, suy ra c = 1. Ta có b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 1 = 8. Phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$. Đáp án đúng là: B. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$. Câu 42: Để tìm phương trình chính tắc của elip, ta cần xác định các thông số \(a\) và \(b\) từ các đỉnh và tiêu điểm đã cho. Bước 1: Xác định các thông số \(a\) và \(c\) - Elip có hai đỉnh là \((-3;0)\) và \((3;0)\). Điều này cho thấy trục lớn của elip nằm trên trục hoành và độ dài trục lớn là \(2a\). Do đó, \(a = 3\). - Elip có hai tiêu điểm là \((-1;0)\) và \((1;0)\). Điều này cho thấy khoảng cách giữa hai tiêu điểm là \(2c\). Do đó, \(c = 1\). Bước 2: Xác định \(b\) từ công thức liên hệ giữa \(a\), \(b\), và \(c\) - Công thức liên hệ giữa \(a\), \(b\), và \(c\) trong elip là: \(c^2 = a^2 - b^2\). - Thay \(a = 3\) và \(c = 1\) vào công thức: \[ 1^2 = 3^2 - b^2 \] \[ 1 = 9 - b^2 \] \[ b^2 = 9 - 1 \] \[ b^2 = 8 \] \[ b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Bước 3: Viết phương trình chính tắc của elip - Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). - Thay \(a = 3\) và \(b = 2\sqrt{2}\) vào phương trình: \[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{(2\sqrt{2})^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1 \] Vậy phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1 \] Đáp án đúng là: B. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$. Câu 43: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của elip và các thông tin đã cho. 1. Điều kiện xác định: Elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > b$. Độ dài trục lớn là $2a$ và độ dài trục nhỏ là $2b$. Tiêu cự của elip là $2c$, với $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. 2. Điều kiện đã cho: - Độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ: $2a = 2 \times 2b \Rightarrow a = 2b$. - Tiêu cự bằng $4\sqrt{3}$: $2c = 4\sqrt{3} \Rightarrow c = 2\sqrt{3}$. 3. Tính toán: - Từ $c = 2\sqrt{3}$, ta có $c^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12$. - Ta biết rằng $c^2 = a^2 - b^2$. Thay $c^2 = 12$ vào, ta có $12 = a^2 - b^2$. - Vì $a = 2b$, thay vào ta có $12 = (2b)^2 - b^2 = 4b^2 - b^2 = 3b^2$. - Giải phương trình $3b^2 = 12$, ta có $b^2 = 4 \Rightarrow b = 2$. - Do $a = 2b$, ta có $a = 2 \times 2 = 4$. 4. Viết phương trình chính tắc của elip: - Với $a = 4$ và $b = 2$, phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. Đáp án đúng là D. Câu 44: Để xác định phương trình chính tắc của elip (E) với đường chuẩn \( x + 4 = 0 \) và tiêu điểm \( F(-1;0) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tiêu cự \( c \): - Tiêu điểm \( F(-1;0) \) nằm trên trục Ox, do đó \( c = 1 \). 2. Xác định khoảng cách từ tâm đến đường chuẩn: - Đường chuẩn \( x + 4 = 0 \) có dạng \( x = -4 \). Khoảng cách từ tâm \( O(0,0) \) đến đường chuẩn là 4. 3. Tính bán trục lớn \( a \): - Elip có tiêu cự \( c \) và khoảng cách từ tâm đến đường chuẩn là \( \frac{a^2}{c} \). Do đó: \[ \frac{a^2}{c} = 4 \implies \frac{a^2}{1} = 4 \implies a^2 = 4 \implies a = 2 \] 4. Tính bán trục nhỏ \( b \): - Ta biết rằng \( c^2 = a^2 - b^2 \). Thay \( c = 1 \) và \( a = 2 \): \[ 1^2 = 2^2 - b^2 \implies 1 = 4 - b^2 \implies b^2 = 3 \implies b = \sqrt{3} \] 5. Viết phương trình chính tắc của elip: - Phương trình chính tắc của elip có dạng \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \). Thay \( a^2 = 4 \) và \( b^2 = 3 \): \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \] Do đó, phương trình chính tắc của elip (E) là: \[ \boxed{\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \) Câu 45: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương trình chính tắc của elip và các tính chất liên quan đến tiêu cự. Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong đó: - \(a\) là bán trục lớn - \(b\) là bán trục nhỏ - Tiêu cự \(2c\) với \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) Bước 1: Xác định tiêu cự Tiêu cự của elip là 6, tức là \(2c = 6\). Do đó: \[ c = 3 \] Bước 2: Thay điểm \(A(5;0)\) vào phương trình elip Điểm \(A(5;0)\) nằm trên elip, nên thay tọa độ của điểm này vào phương trình elip: \[ \frac{5^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \] \[ \frac{25}{a^2} = 1 \] \[ a^2 = 25 \] \[ a = 5 \] Bước 3: Tính \(b^2\) Biết rằng \(c = 3\) và \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\), ta có: \[ 3 = \sqrt{25 - b^2} \] \[ 9 = 25 - b^2 \] \[ b^2 = 16 \] \[ b = 4 \] Bước 4: Viết phương trình chính tắc của elip Với \(a = 5\) và \(b = 4\), phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ Câu 46: Để tìm phương trình của elip, ta cần biết các thông số cơ bản của elip, bao gồm khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tâm sai và bán trục lớn. Bước 1: Xác định khoảng cách giữa hai tiêu điểm. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm \( F_1(-1;0) \) và \( F_2(1;0) \) là: \[ 2c = |1 - (-1)| = 2 \] Do đó, \( c = 1 \). Bước 2: Xác định bán trục lớn \( a \) từ tâm sai \( e \). Tâm sai \( e \) được cho là \( \frac{1}{5} \). Ta có công thức liên quan đến tâm sai: \[ e = \frac{c}{a} \] Thay \( c = 1 \) và \( e = \frac{1}{5} \) vào công thức: \[ \frac{1}{5} = \frac{1}{a} \] Suy ra: \[ a = 5 \] Bước 3: Xác định bán trục nhỏ \( b \) từ mối liên hệ giữa \( a \), \( b \) và \( c \): \[ c^2 = a^2 - b^2 \] Thay \( c = 1 \) và \( a = 5 \) vào công thức: \[ 1^2 = 5^2 - b^2 \] \[ 1 = 25 - b^2 \] \[ b^2 = 24 \] \[ b = \sqrt{24} \] Bước 4: Viết phương trình của elip. Phương trình chuẩn của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Thay \( a = 5 \) và \( b = \sqrt{24} \) vào phương trình: \[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{24})^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{24} = 1 \] Vậy phương trình của elip là: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{24} = 1 \] Đáp án đúng là: A. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{24} = 1$. Câu 47: Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ là bán kính trục lớn và $b$ là bán kính trục bé. - Độ dài trục lớn là 8, vậy bán kính trục lớn $a = \frac{8}{2} = 4$. Suy ra $a^2 = 16$. - Độ dài trục bé là 6, vậy bán kính trục bé $b = \frac{6}{2} = 3$. Suy ra $b^2 = 9$. Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Câu 48: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đỉnh của elip: Elip có phương trình $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > b > 0$. Các đỉnh của elip là $(\pm a, 0)$ và $(0, \pm b)$. 2. Hình thoi được tạo thành từ các đỉnh của elip: Các đỉnh của elip tạo thành hình thoi với các đỉnh là $(a, 0)$, $(-a, 0)$, $(0, b)$ và $(0, -b)$. Một trong các góc của hình thoi là 60°. 3. Tính khoảng cách giữa các đỉnh: Khoảng cách giữa hai đỉnh $(a, 0)$ và $(0, b)$ là: \[ d = \sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \] 4. Áp dụng tính chất của hình thoi: Trong hình thoi, nếu một góc là 60°, thì tam giác được tạo thành bởi hai cạnh liên tiếp và đường chéo sẽ là tam giác đều. Do đó, đường chéo của hình thoi sẽ bằng cạnh của tam giác đều nhân với $\sqrt{3}$. 5. Tính tiêu cự của elip: Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, được tính bằng công thức $2c$, trong đó $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Theo đề bài, tiêu cự là 8, vậy: \[ 2c = 8 \implies c = 4 \] Suy ra: \[ c^2 = 16 \implies a^2 - b^2 = 16 \] 6. Kết hợp các thông tin đã biết: Chúng ta đã có hai phương trình: \[ a^2 - b^2 = 16 \] \[ a^2 + b^2 = ? \] 7. Tìm giá trị của $a^2 + b^2$: Ta có thể sử dụng phương pháp cộng hai phương trình: \[ (a^2 - b^2) + (a^2 + b^2) = 16 + (a^2 + b^2) \] \[ 2a^2 = 16 + (a^2 + b^2) \] \[ 2a^2 - a^2 - b^2 = 16 \] \[ a^2 + b^2 = 32 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{32} \] Câu 49: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số cơ bản của elip từ dữ liệu đã cho. 2. Xác định phương trình chính tắc của elip dựa trên các thông số đã biết. Bước 1: Xác định các thông số cơ bản của elip - Elip (E) đi qua điểm \( M(0;3) \). Điều này cho thấy rằng trục nhỏ của elip có độ dài là 6 (vì \( y = 3 \) là bán kính của trục nhỏ). - Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trên elip là 8. Điều này cho thấy rằng trục lớn của elip có độ dài là 8 (vì khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trên elip là độ dài của trục lớn). Bước 2: Xác định phương trình chính tắc của elip Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong đó: - \( a \) là bán kính của trục lớn. - \( b \) là bán kính của trục nhỏ. Từ dữ liệu đã cho: - Độ dài trục lớn là 8, vậy bán kính trục lớn \( a = \frac{8}{2} = 4 \). - Độ dài trục nhỏ là 6, vậy bán kính trục nhỏ \( b = \frac{6}{2} = 3 \). Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \] Vậy phương án đúng là: B. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ Đáp án: B. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$