Một người thợ làm một cái bồn chứa dầu hình trụ có bán kính đáy r(m), chiều cao h(m) và thể tích bằng a(m3) (a là một số dương không đổi). Để giảm giá thành sản phẩm, người thợ phải tính toán tỉ số...

Thể tích của bồn chứa dầu hình trụ là: \[ V = \pi r^2 h \] Biết rằng thể tích bằng \( a \) (m³), ta có: \[ \pi r^2 h = a \] Từ đó suy ra: \[ h = \frac{a}{\pi r^2} \] Diện tích toàn phần của bồn chứa dầu hình trụ là: \[ S_{tp} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \] Thay \( h = \frac{a}{\pi r^2} \) vào công thức diện tích toàn phần: \[ S_{tp} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \left( \frac{a}{\pi r^2} \right) \] \[ S_{tp} = 2 \pi r^2 + \frac{2a}{r} \] Để diện tích toàn phần nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( r \) sao cho \( S_{tp} \) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị cực tiểu của \( S_{tp} \). Tính đạo hàm của \( S_{tp} \) theo \( r \): \[ \frac{d(S_{tp})}{dr} = \frac{d}{dr} \left( 2 \pi r^2 + \frac{2a}{r} \right) \] \[ \frac{d(S_{tp})}{dr} = 4 \pi r - \frac{2a}{r^2} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 4 \pi r - \frac{2a}{r^2} = 0 \] \[ 4 \pi r = \frac{2a}{r^2} \] \[ 4 \pi r^3 = 2a \] \[ r^3 = \frac{a}{2 \pi} \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{a}{2 \pi}} \] Thay \( r = \sqrt[3]{\frac{a}{2 \pi}} \) vào biểu thức của \( h \): \[ h = \frac{a}{\pi \left( \sqrt[3]{\frac{a}{2 \pi}} \right)^2} \] \[ h = \frac{a}{\pi \left( \frac{a^{2/3}}{(2 \pi)^{2/3}} \right)} \] \[ h = \frac{a}{\pi} \cdot \frac{(2 \pi)^{2/3}}{a^{2/3}} \] \[ h = \frac{a^{1/3} (2 \pi)^{2/3}}{\pi} \] \[ h = \frac{a^{1/3} \cdot 2^{2/3} \cdot \pi^{2/3}}{\pi} \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.