Giúp mình với ạ mình cảm ơn Bài toán hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm,Cho đường tròn (O) và điểm A cố định bên ngoài (O). Qua A, kẻ đường thẳng d cắt (O) tại M và N $(AM

Question

Giúp mình với ạ mình cảm ơn Bài toán hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm,Cho đường tròn (O) và điểm A cố định bên ngoài (O). Qua A, kẻ đường thẳng d cắt (O) tại M và N $(AM<$,AN). Gọi I là trung điểm của MN. Kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O), (B, C là 2 tiếp điểm và B thuộc cung lớn,MN).,1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp một đường tròn.,2) Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn.,3) Chứng minh tứ giác OBIC nội tiếp một đường tròn.,4) Chứng minh IA là tia phân giác của góc CIB.,5) Gọi T là giao điểm MN và BC. Chứng minh: $TM.TN=TB.TC=$ và $AC^2=AM.AN.$,6) Chứng minh: $MC.BN=MB.CN.$,7) Gọi H là giao điểm OAvà BC, E là giao điểm của OI và BC. Chứng minh: $OI.~OE=OH.~OA.$,8) Chứng minh $\Delta AHM$ đồng dạng với $\Delta ANO$ và $\Delta AHN$ đồng dạng với $\Delta AMO.$,9) Chứng minh HC là tia phân giác của góc MHN.,10) Chứng minh EM, EN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Accepted Answer

{"userId":5386877,"userName":"Quế Phương"}

1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp một đường tròn.

Ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C, suy ra góc ACO bằng 90 độ (tính chất tiếp tuyến).
Ta có OB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, suy ra góc ABO bằng 90 độ (tính chất tiếp tuyến).
Xét tứ giác ABOC, tổng hai góc đối nhau là góc ACO + góc ABO = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
Vậy tứ giác ABOC nội tiếp được một đường tròn (tổng hai góc đối bằng 180 độ).

2) Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C nằm trên một đường tròn.

Ta đã chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp một đường tròn, vậy 4 điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có I là trung điểm của dây cung MN của đường tròn (O). Đường thẳng OI đi qua tâm O và trung điểm I của dây cung MN nên OI vuông góc với MN (tính chất đường kính vuông góc với dây cung). Suy ra góc AIO bằng 90 độ.
Ta có góc ACO bằng 90 độ (chứng minh ở phần 1).
Xét hai điểm I và C cùng nhìn đoạn AO dưới một góc 90 độ. Vậy I và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO.
Do A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn, và I cũng nằm trên đường tròn đường kính AO, mà đường tròn đường kính AO đi qua A và O, vậy 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn.

3) Chứng minh tứ giác OBIC nội tiếp một đường tròn.

Ta có góc OBI bằng góc ABO bằng 90 độ (B là tiếp điểm).
Ta có góc OCI bằng góc ACO bằng 90 độ (C là tiếp điểm).
Xét tứ giác OBIC, tổng hai góc đối nhau là góc OBI + góc OCI = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
Vậy tứ giác OBIC nội tiếp được một đường tròn (tổng hai góc đối bằng 180 độ).

4) Chứng minh IA là tia phân giác của góc CIB.

Vì I là trung điểm của dây cung MN, OI vuông góc với MN.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBIC (chứng minh ở phần 3). Góc IBC chắn cung IC, góc IOC chắn cung IC. Vậy góc IBC bằng góc IOC.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Góc ABC chắn cung AC, góc AOC chắn cung AC. Vậy góc ABC bằng góc AOC.
Xét đường tròn ngoại tiếp 5 điểm A, B, O, I, C. Góc BIC chắn cung BC, góc BAC chắn cung BC. Vậy góc BIC bằng góc BAC.
Ta có tam giác OMN cân tại O (OM = ON = bán kính). OI là đường trung tuyến nên cũng là đường cao và đường phân giác của góc MON.
(Phần này cần sử dụng thêm các tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trong các đường tròn đã chứng minh nội tiếp, sẽ phức tạp hơn khi không có hình vẽ để theo dõi các góc tương ứng).

5) Gọi T là giao điểm của MN và BC. Chứng minh: TM . TN = TB . TC và AC² = AM . AN.

TM . TN = TB . TC: Xét đường tròn (O) và cát tuyến TMN, tiếp tuyến TB. Theo định lý cát tuyến và tiếp tuyến, ta có TB² = TM . TN. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBIC. TC là cát tuyến, TB là tiếp tuyến. Theo định lý cát tuyến và tiếp tuyến, ta có TB² = TI . TO (điều này không trực tiếp dẫn đến TM . TN = TB . TC). Cần xem xét các tam giác đồng dạng: Xét tam giác TBM và tam giác TCN. Góc BTC chung. (Cần chứng minh thêm góc TMB = góc TCB hoặc góc TBM = góc TNC).
AC² = AM . AN: Xét đường tròn (O) và cát tuyến AMN, tiếp tuyến AC. Theo định lý cát tuyến và tiếp tuyến, ta có AC² = AM . AN.

6) Chứng minh: MC . BN = MB . CN.

Đây là định lý Ptolemy áp dụng cho tứ giác nội tiếp BCMN (nếu tứ giác này nội tiếp). Tuy nhiên, ta chưa chứng minh được điều này.
Cần xem xét các tam giác đồng dạng: Xét tam giác AMC và tam giác ANB. Góc A chung. (Cần chứng minh thêm tỉ lệ cạnh tương ứng).

7) Gọi H là giao điểm của OA và BC, E là giao điểm của OI và BC. Chứng minh: OI . OE = OH . OA.

Xét tam giác OHE và tam giác OIA. Góc O chung. (Cần chứng minh thêm góc OEH = góc OAI hoặc tỉ lệ cạnh tương ứng).

8) Chứng minh tam giác AHM đồng dạng với tam giác ANO và tam giác AHN đồng dạng với tam giác AMO.

Tam giác AHM đồng dạng với tam giác ANO: Góc A chung. (Cần chứng minh thêm góc AMH = góc ANO hoặc tỉ lệ cạnh tương ứng).
Tam giác AHN đồng dạng với tam giác AMO: Góc A chung. (Cần chứng minh thêm góc ANH = góc AMO hoặc tỉ lệ cạnh tương ứng).

9) Chứng minh HC là tia phân giác của góc MHN.

(Cần sử dụng các tính chất góc liên quan đến các tam giác đồng dạng và các đường tròn đã chứng minh nội tiếp).

10) Chứng minh EM, EN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

(Cần chứng minh góc EMO = 90 độ và góc ENO = 90 độ).